Um tubo circular de 12 c m de diâmetro externo e 14 m de comprimento tem sua superfície (externa) molhada com água. Sendo assim, a secagem da superfície do tubo será feita por meio do escoamento cruzado de ar seco a 15^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm com uma velocidade média de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O tubo está em uma sala refrigerada que faz com que sua superfície permaneça na temperatura de 15^{\circ} \mathrm{C} durante todo o tempo. A viscosidade cinemática do ar seco na temperatura especificada de 15^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm é de v=1,75 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. O número de Schmidt do vapor d’água no ar, na temperatura e pressão especificados, é de 0,7408 . Sabendo que a concentração de vapor d’água na superfície externa do tubo é de 12,57 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, determine a taxa molar de transferência de massa convectiva do vapor d’água da superfície do tubo para o ar.
(Resposta: N_{A}=5,949 \times 10^{-5} \mathrm{kmol} / \mathrm{s} )

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
Pergunta: determinar a taxa molar de transferência de massa convectiva do vapor d’água da superfície do tubo para o ar, isto é N_{A} em \mathrm{kmol}/\mathrm{s}.
Dados (peguei todos do enunciado):
\begin{aligned} &\text{diâmetro externo do tubo: }D=0,12\\ \mathrm{m},\\\ &\text{comprimento do tubo: }L=14\\ \mathrm{m},\\\ &\text{velocidade média do ar: }U=3\\ \mathrm{m/s},\\\ &\text{temperatura do ar e da superfície: }15^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{viscosidade cinemática do ar: }\nu=1,75\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s},\\\ &\text{número de Schmidt do vapor d'água no ar: }\mathrm{Sc}=0,7408,\\\ &\text{concentração de vapor na superfície: }C_{s}=12,57\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg/m^{3}},\\\ &\text{o ar é considerado seco no escoamento (ar seco) -- então assumimos }C_{\infty}\approx 0\\ \mathrm{kg/m^{3}}. \end{aligned}âéíáúáçãíéã
Objetivo operacional: encontrar a taxa molar N_{A} (em \mathrm{kmol/s}).
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Calcular o número de Reynolds do escoamento em torno do cilindro e interpretar.
Fórmula usada:
\mathrm{Re}=\frac{U D}{\nu},
onde U é a velocidade característica (m/s), D é o diâmetro (m) e \nu é a viscosidade cinemática (m ^2/s). \mathrm{Re} é uma medida relativa das forças inerciais sobre as forças viscosas no escoamento.
Substituindo os valores:
\mathrm{Re}=\frac{3\cdot 0,12}{1,75\times 10^{-5}}=\frac{0,36}{1,75\times 10^{-5}}=2,0571\times 10^{4}.
Portanto \mathrm{Re}\approx 2,06\times 10^{4}. (Escoamento em regime externo com \mathrm{Re} relativamente moderado-alto.)

Passo 3

Escolher e escrever a correlação de transferência de massa (Sherwood) para um cilindro em escoamento cruzado.
Usamos a correlação de Churchill–Bernstein adaptada (correlação clássica aplicada para transferência de calor/massa em cilindro): trocar Pr por \mathrm{Sc} dá a correlação para massa. A correlação fornece o número de Sherwood \mathrm{Sh}, que relaciona coeficiente convectivo de massa k_{c}, difusividade molecular D_{AB} e dimensão característica D:
\mathrm{Sh}=0{,}3+\frac{0{,}62\,\mathrm{Re}^{1/2}\,\mathrm{Sc}^{1/3}}{\left[1+\left(\dfrac{0{,}4}{\mathrm{Sc}}\right)^{2/3}\right]^{1/4}} \left[1+\left(\dfrac{\mathrm{Re}}{282000}\right)^{5/8}\right]^{4/5}.
Aqui \mathrm{Sh}=\dfrac{k_{c}D}{D_{AB}}. Essa correlação é apropriada porque temos um cilindro longo em escoamento cruzado e \mathrm{Re} está na faixa onde a correlação é usada.

Passo 4

Calcular \mathrm{Sh} passo a passo, avaliando cada termo da correlação.
Primeiro, calculos intermediários:
\mathrm{Re}^{1/2}=(2{,}0571\times 10^{4})^{1/2}=143{,}43,
\mathrm{Sc}^{1/3}=(0{,}7408)^{1/3}=0{,}9050\\ (\text{aprox.}).
Produto intermediário:
0{,}62\,\mathrm{Re}^{1/2}\,\mathrm{Sc}^{1/3}=0{,}62\cdot 143{,}43\cdot 0{,}9050=80{,}528\\ (\text{aprox.}).
Denominador do primeiro fator:
\left[1+\left(\dfrac{0{,}4}{\mathrm{Sc}}\right)^{2/3}\right]^{1/4} = \left[1+\left(\dfrac{0{,}4}{0{,}7408}\right)^{2/3}\right]^{1/4} =1{,}136\\ (\text{aprox.}).
Portanto o primeiro quociente vale aproximadamente:
\frac{0{,}62\,\mathrm{Re}^{1/2}\,\mathrm{Sc}^{1/3}}{\left[1+\left(\dfrac{0{,}4}{\mathrm{Sc}}\right)^{2/3}\right]^{1/4}} =\frac{80{,}528}{1{,}136}=70{,}91.
Agora o fator final:
\left[1+\left(\dfrac{\mathrm{Re}}{282000}\right)^{5/8}\right]^{4/5} =\left[1+\left(\dfrac{2{,}0571\times 10^{4}}{282000}\right)^{5/8}\right]^{4/5} =1{,}1534\\ (\text{aprox.}).
Multiplicando:
70{,}91\cdot 1{,}1534=81{,}80.
Somando o termo 0,3:
\mathrm{Sh}=0{,}3+81{,}80=82{,}10\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Relacionar \mathrm{Sh} com o coeficiente de transferência de massa k_{c}.
Definições:
\mathrm{Sh}=\frac{k_{c}D}{D_{AB}}\quad\text{e}\quad \mathrm{Sc}=\frac{\nu}{D_{AB}}.
Da segunda relação obtemos a difusividade molecular:
D_{AB}=\frac{\nu}{\mathrm{Sc}}=\frac{1{,}75\times 10^{-5}}{0{,}7408}=2{,}3629\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
Agora isolamos k_{c}:
k_{c}=\frac{\mathrm{Sh}\,D_{AB}}{D}=\frac{82{,}10\cdot 2{,}3629\times 10^{-5}}{0{,}12}=0{,}01616\\ \mathrm{m/s}\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Calcular o fluxo de massa por unidade de área e a vazão mássica total.
O fluxo mássico convectivo (por unidade de área) é:
j=k_{c}\,(C_{s}-C_{\infty}).
Assumindo ar seco em escoamento, C_{\infty}\approx 0, então \Delta C=C_{s}=12{,}57\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Logo
j=0{,}01616\cdot 12{,}57\times 10^{-3}=2{,}030\times 10^{-4}\\ \mathrm{kg/(m^{2}\,s)}.
Área externa lateral do cilindro (sem as extremidades):
A=\pi D L=\pi\cdot 0{,}12\cdot 14=5{,}2769\\ \mathrm{m^{2}}.
Vazão mássica total (kg/s):
\dot{m}=j\cdot A=2{,}030\times 10^{-4}\cdot 5{,}2769=1{,}071\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 7

Converter a vazão mássica para vazão molar N_{A}.
Massa molar da água: M_{w}=18{,}01528\\ \mathrm{kg/kmol}.
A vazão molar é
N_{A}=\frac{\dot{m}}{M_{w}}=\frac{1{,}071\times 10^{-3}}{18{,}01528}=5{,}949\times 10^{-5}\\ \mathrm{kmol/s}\\ (\text{aprox.}).
Pequeno incentivo: chegamos ao resultado seguindo passo a passo as correlações e conversões — dá pra reproduzir isso na prova!

Resposta

N_{A}=5,949\times 10^{-5}\\ \mathrm{kmol/s}

Exercícios relacionados