Questão 01 - Para a execução do experimento queda livre, a resistência do ar foi desconsiderada. Se fosse considerado a resistência do ar, como ficaria a função horária para a velocidade do projétil considerando que a resistência do ar é dada por \vec{F}=-b \vec{v}. Desta forma, estime a velocidade terminal da esfera.

Passo 1

O enunciado pede que a gente inclua a resistência do ar proporcional à velocidade, dada por \vec{F}_{\text{ar}} = -b\vec{v}, na análise da queda livre e determine a função horária da velocidade do projétil e estime a velocidade terminal da esfera.
Informações/condições fornecidas e assumidas (sem pedir nada a mais):
  • Força de arrasto: \vec{F}_{\text{ar}} = -b\vec{v}, com b>0 constante.
  • Força peso: m\vec{g}.
  • Caso usual de queda livre, assumimos que a esfera é largada do repouso, isto é, condição inicial \;v(0)=0. (Não foi dado outro valor, então usamos esta hipótese).
  • Precisamos obter \vec{v}(t) (função horária da velocidade) e estimar a velocidade terminal (valor de \vec{v} quando t\to\infty).

Passo 2

Escolha de eixo e sinal: vamos tomar o eixo vertical com sentido positivo para baixo (isso deixa m g positivo). Denotamos por v(t) a componente da velocidade no sentido para baixo, de modo que \vec{v}(t)=v(t)\,\hat{y} com \hat{y} para baixo. Explicando a física das forças: o peso aponta para baixo com módulo mg; a resistência do ar tem direção oposta à velocidade e, como \vec{F}_{\text{ar}}=-b\vec{v}, para v>0 (descida) a resistência aponta para cima (negativa no nosso eixo). Portanto, a soma das forças na direção vertical é
\sum F = mg - b v.

Passo 3

Escrevendo a segunda lei de Newton na forma de equação diferencial: \sum F = m\,\dfrac{dv}{dt}. Substituindo a soma das forças obtemos a ODE linear de primeira ordem
m\frac{dv}{dt} = mg - b v.
Dividindo por m para colocar em forma padrão:
\frac{dv}{dt} + \frac{b}{m}\,v = g.
Comentário didático: esta é uma equação linear com coeficiente constante. O termo \dfrac{b}{m} tem dimensão de \text{tempo}^{-1} e define a constante de decaimento da solução homogênea.

Passo 4

Método de solução (passo a passo, bem mastigado):
  1. Resolver a homogênea associada \dfrac{dv}{dt} + \dfrac{b}{m}v = 0. Separando variáveis ou reconhecendo equação exponencial, temos
v_h(t) = C e^{-(b/m)t},
onde C é constante determinada pela condição inicial.
  1. Buscar uma solução particular constante v_p. Como o lado direito é constante g, tentamos v_p = \text{constante}. Substituindo na ODE:
0 + \frac{b}{m}v_p = g \quad\Rightarrow\quad v_p = \frac{m g}{b}.
Isso faz sentido fisicamente: é a velocidade em que peso e arrasto se equilibram (sem aceleração).
  1. A solução geral é soma das duas partes:
v(t) = v_p + v_h(t) = \frac{m g}{b} + C e^{-(b/m)t}.

Passo 5

Aplicar a condição inicial \;v(0)=0 (esfera largada do repouso). Substituindo t=0 na solução geral:
0 = \frac{m g}{b} + C \cdot 1 \quad\Rightarrow\quad C = -\frac{m g}{b}.
Logo a solução específica para o problema é
v(t) = \frac{m g}{b}\left(1 - e^{-(b/m)t}\right).
Explicando: no início ( t\approx 0) expandindo o exponencial temos v(t)\approx \dfrac{m g}{b}\left(1 - (1 - (b/m)t + \cdots)\right)\approx g t, ou seja, inicialmente a velocidade cresce praticamente como na queda livre sem arrasto; com o tempo o exponencial decai e a velocidade se aproxima de um valor constante.

Passo 6

Determinação da velocidade terminal: a velocidade terminal é o limite quando t\to\infty. Como e^{-(b/m)t}\to 0 quando t\to\infty, resulta
v_{\text{terminal}} = \lim_{t\to\infty} v(t) = \frac{m g}{b}.
Interpretação física: no regime terminal a aceleração é zero e o arrasto equilibra exatamente o peso, ou seja mg - b v_{\text{terminal}}=0.

Passo 7

Observações úteis para a prova e aplicação prática:
  • A constante de tempo do sistema é \tau = \dfrac{m}{b}. Em tempo da ordem de \tau a velocidade já está próxima de v_{\text{terminal}}. Mais precisamente, em t=\tau temos v(\tau)=v_{\text{terminal}}(1-e^{-1})\approx 0,63\,v_{\text{terminal}}. Isso ajuda a estimar quanto tempo leva para atingir a velocidade terminal.
  • Se a resistência linear for devida ao fluxo viscoso (regime de Reynolds pequeno, “Stokes”), para uma esfera de raio r no fluido de viscosidade dinâmica \eta vale a lei de Stokes b = 6\pi\eta r. Nesse caso a velocidade terminal fica
v_{\text{terminal}} = \frac{m g}{6\pi\eta r}.
Isso permite estimar numericamente v_{\text{terminal}} se você souber m, r e \eta. Atenção: para quedas em ar, muitas vezes o regime de arrasto é quadrático em v e não linear; aqui seguimos o enunciado que assume arrasto linear.

Resposta

v(t)=\frac{m g}{b}\left(1-e^{-(b/m)t}\right)
v_{\text{terminal}}=\frac{m g}{b}

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