Questão 01 - Para a execução do experimento queda livre, a resistência do ar foi desconsiderada. Se fosse considerado a resistência do ar, como ficaria a função horária para a velocidade do projétil considerando que a resistência do ar é dada por
. Desta forma, estime a velocidade terminal da esfera.
Passo 1
O enunciado pede que a gente inclua a resistência do ar proporcional à velocidade, dada por
, na análise da queda livre e determine a função horária da velocidade do projétil e estime a velocidade terminal da esfera.
Informações/condições fornecidas e assumidas (sem pedir nada a mais):
Informações/condições fornecidas e assumidas (sem pedir nada a mais):
- Força de arrasto:
, com constante. - Força peso:
. - Caso usual de queda livre, assumimos que a esfera é largada do repouso, isto é, condição inicial
. (Não foi dado outro valor, então usamos esta hipótese). - Precisamos obter
(função horária da velocidade) e estimar a velocidade terminal (valor de quando ).
Passo 2
Escolha de eixo e sinal: vamos tomar o eixo vertical com sentido positivo para baixo (isso deixa
positivo). Denotamos por
a componente da velocidade no sentido para baixo, de modo que
com
para baixo. Explicando a física das forças: o peso aponta para baixo com módulo
; a resistência do ar tem direção oposta à velocidade e, como
, para
(descida) a resistência aponta para cima (negativa no nosso eixo). Portanto, a soma das forças na direção vertical é
Passo 3
Escrevendo a segunda lei de Newton na forma de equação diferencial:
. Substituindo a soma das forças obtemos a ODE linear de primeira ordem
Dividindo por
para colocar em forma padrão:
Comentário didático: esta é uma equação linear com coeficiente constante. O termo
tem dimensão de
e define a constante de decaimento da solução homogênea.
Passo 4
Método de solução (passo a passo, bem mastigado):
- Resolver a homogênea associada
. Separando variáveis ou reconhecendo equação exponencial, temos
onde
é constante determinada pela condição inicial.
- Buscar uma solução particular constante
. Como o lado direito é constante , tentamos . Substituindo na ODE:
Isso faz sentido fisicamente: é a velocidade em que peso e arrasto se equilibram (sem aceleração).
- A solução geral é soma das duas partes:
Passo 5
Aplicar a condição inicial
(esfera largada do repouso). Substituindo
na solução geral:
Logo a solução específica para o problema é
Explicando: no início (
) expandindo o exponencial temos
, ou seja, inicialmente a velocidade cresce praticamente como na queda livre sem arrasto; com o tempo o exponencial decai e a velocidade se aproxima de um valor constante.
Passo 6
Determinação da velocidade terminal: a velocidade terminal é o limite quando
. Como
quando
, resulta
Interpretação física: no regime terminal a aceleração é zero e o arrasto equilibra exatamente o peso, ou seja
.
Passo 7
Observações úteis para a prova e aplicação prática:
- A constante de tempo do sistema é
. Em tempo da ordem de a velocidade já está próxima de . Mais precisamente, em temos . Isso ajuda a estimar quanto tempo leva para atingir a velocidade terminal. - Se a resistência linear for devida ao fluxo viscoso (regime de Reynolds pequeno, “Stokes”), para uma esfera de raio
no fluido de viscosidade dinâmica vale a lei de Stokes . Nesse caso a velocidade terminal fica
Isso permite estimar numericamente
se você souber
,
e
. Atenção: para quedas em ar, muitas vezes o regime de arrasto é quadrático em
e não linear; aqui seguimos o enunciado que assume arrasto linear.