Uma curva Cé definida pelas equações paramétricas 
  e 
Determine os pontos de 
  onde a tangente é hotizontal ou vertical.
Determine os pontos de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva 
  definida pelas equações paramétricas 
  e 
 . Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos nessa curva onde a tangente é horizontal ou vertical. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções paramétricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma tangente ser horizontal ou vertical. A tangente é uma linha que toca a curva em um ponto específico e tem a mesma direção da curva naquele ponto.
- Tangente Horizontal: A inclinação da tangente (
) é igual a zero.  - Tangente Vertical: A inclinação da tangente é indefinida, ou seja, o denominador da derivada é zero.
 
Passo 3
Para encontrar 
 , usamos as derivadas em relação a 
 :
Então, vamos primeiro calcular 
  e 
 .
Passo 4
Calculando as derivadas:
Agora, substituímos essas derivações na fórmula de 
 :
Passo 5
Tangente Horizontal: Queremos quando 
 .
Agora, encontramos o ponto correspondente substituindo 
  nas equações paramétricas:
Então, o ponto é 
 .
Passo 6
Tangente Vertical: Queremos quando 
  e 
 .
Mas, para 
 , também temos 
 . Isso significa que em 
 , tanto 
  quanto 
  são zero, o que indica um ponto estacionário e não uma tangente vertical. Portanto, não há pontos com tangente vertical nessa curva.
Resposta
A única tangente horizontal na curva 
  ocorre no ponto 
 . Não existem pontos com tangente vertical nessa curva.