Esboce a curva paramétrica e elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva. Indique a direção na qual a curva é traçada quando 
  aumenta.
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar uma curva paramétrica, eliminar o parâmetro para achar a equação cartesiana da curva e indicar a direção que a curva segue quando o parâmetro 
  (ou aqui, 
 ) aumenta. A matéria que vamos usar envolve geometria analítica e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar as equações paramétricas que temos:
Aqui, 
  é o parâmetro. Para eliminar o 
  e encontrar a equação em termos de 
  e 
 , vamos relacionar essas duas equações.
Passo 3
Sabemos que 
  é o inverso de 
 , ou seja:
Como 
 , podemos substituir na equação de 
 :
Então, a equação cartesiana da curva é:
Passo 4
Agora, vamos esboçar a curva 
 . Essa é uma hipérbole com dois ramos: um no 1º quadrante (onde 
  e 
  são positivos) e outro no 3º quadrante (onde 
  e 
  são negativos).
Passo 5
Para indicar a direção em que a curva é traçada quando 
  aumenta, vamos analisar o comportamento de 
  e 
  conforme 
  varia.
- 
Quando
vai de a : - 
diminui de para .  - 
aumenta de para .  - Isso significa que a curva se move do ponto 
para cima, em direção ao ponto onde se aproxima de e vai para o infinito positivo.  
 - 
 - 
Quando
vai de a : - 
diminui de para .  - 
diminui de para .  - Aqui, a curva se move do infinito positivo para o ponto 
.  
 - 
 
Portanto, a direção da curva é do 1º quadrante para o 3º quadrante conforme 
  aumenta de 
  a 
 .
Resposta
A equação cartesiana da curva é 
 , e a curva é traçada do 1º para o 3º quadrante conforme 
  aumenta.