Uma curva Cé definida pelas equações paramétricas 
  e 
Encontre as equações da reta tangente à curva 
  que passam pelo ponto 
 
Encontre as equações da reta tangente à curva
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida pelas equações paramétricas 
  e 
 . O objetivo é encontrar as equações das retas tangentes a essa curva que passam pelo ponto 
 .
Conteúdo envolvido:
- Equações paramétricas de curvas
 - Derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente
 - Equação da reta
 - Resolução de equações para encontrar os pontos de tangência
 
Passo 2
Para encontrar a reta tangente à curva em um ponto qualquer, precisamos primeiro determinar a inclinação dessa reta. A inclinação da reta tangente pode ser encontrada usando a derivada das funções paramétricas.
Vamos calcular as derivadas de 
  e 
  em relação a 
 :
Agora, a inclinação 
  da reta tangente é dada por:
Passo 3
Sabendo a inclinação da reta tangente, podemos escrever a equação da reta tangente que passa pelo ponto 
 :
Substituindo os valores:
Passo 4
Queremos que essa reta tangente passe pelo ponto 
 . Então, substituímos 
  e 
  na equação da reta:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de 
 :
Passo 6
Agora, vamos reunir todos os termos em um lado da equação:
Passo 7
Precisamos resolver a equação cúbica 
 . Vamos tentar encontrar raízes racionais possíveis testando valores que satisfaçam a equação.
Testando 
 :
Portanto, 
  é uma raiz.
Passo 8
Fatorando a equação cúbica usando 
 :
Agora, resolvemos a equação quadrática 
 :
Assim, as raízes são 
  e 
 .
Passo 9
Agora, temos dois valores de 
  que correspondem aos pontos de tangência:
- 
Para
: - Ponto na curva: 
 - Inclinação: 
 - Equação da reta: 
que simplifica para  
 - Ponto na curva: 
 - 
Para
: - Ponto na curva: 
 - Inclinação: 
 - Equação da reta: 
que simplifica para  
 - Ponto na curva: 
 
Resposta
As equações das retas tangentes à curva que passam pelo ponto 
  são: