Considere a curva de equações paramétricas 
  e 
 . Note que esta curva está sobre uma elipse.
Descreva o movimento de uma partícula com posição 
  dada acima, com 
  
 
Descreva o movimento de uma partícula com posição
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida por equações paramétricas 
  e 
 , que forma uma elipse. O objetivo é descrever como uma partícula se move ao longo dessa elipse quando o ângulo 
  varia em dois intervalos: de 
  a 
  e de 
  a 
 . Para resolver isso, vamos precisar entender as equações paramétricas de uma elipse e como o parâmetro 
  afeta a posição da partícula.
Passo 2
Vamos começar analisando as equações paramétricas dadas:
Essas equações representam uma elipse centrada na origem. A equação geral da elipse é:
onde 
  e 
  são os semi-eixos maior e menor, respectivamente. Comparando com as nossas equações:
Isso significa que a elipse tem um semi-eixo maior de comprimento 3 na direção y e um semi-eixo menor de comprimento 2 na direção x.
Passo 3
Agora, vamos entender como o ângulo 
  influencia a posição da partícula. À medida que 
  varia, a partícula se move ao longo da elipse. Quando 
 :
Então, a partícula começa no ponto 
 .
Passo 4
Conforme 
  aumenta de 
  a 
 , a partícula percorre toda a elipse uma vez completa. Por exemplo:
- Quando 
:  
Então, a partícula está no ponto 
 .
- Quando 
:  
Agora, a partícula está no ponto 
 .
- Quando 
:  
A partícula está no ponto 
  e, finalmente, retorna ao ponto inicial 
  quando 
 .
Passo 5
Para o intervalo de 
  de 
  a 
 , a partícula percorre apenas metade da elipse. Vamos ver:
- Quando 
:  
A partícula está no ponto 
 .
- À medida que 
aumenta até , a partícula se move para passando por . 
Portanto, nesse intervalo, a partícula percorre da parte inferior esquerda da elipse até a parte superior direita, completando meio percurso. 
Resposta
Quando 
  varia de 
  a 
 , a partícula percorre toda a elipse uma vez completa, movendo-se no sentido anti-horário a partir do ponto 
 . Já no intervalo de 
  a 
 , a partícula percorre apenas metade da elipse, indo do ponto 
  até 
  e retornando a 
 .