Uma curva Cé definida pelas equações paramétricas 
  e 
Mostre que 
  tem duas tangentes no ponto ( 0,0 ) e encontre suas equações.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma curva 
  definida pelas equações paramétricas 
  e 
 . O conteúdo que vamos usar aqui é de Cálculo, especificamente sobre derivadas e tangentes. Precisamos provar que a curva 
  tem duas tangentes no ponto 
  e encontrar as equações dessas tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são equações paramétricas. Elas nos dão 
  e 
  em função de um parâmetro 
 . No nosso caso:
Isso significa que, para cada valor de 
 , temos um ponto na curva 
 .
Passo 3
Para encontrar as tangentes à curva no ponto 
 , precisamos calcular a derivada 
  nesse ponto. A derivada nos dá a inclinação da tangente.
Passo 4
Calculamos 
  e 
 :
Então, a derivada 
  fica:
Passo 5
Agora, queremos a inclinação da tangente em 
 . Vamos avaliar o limite de 
  quando 
  se aproxima de 0:
Isso sugere que uma das tangentes tem inclinação 0, ou seja, é uma reta horizontal.
Passo 6
No entanto, precisamos verificar se há outra tangente. Observamos que quando 
  se aproxima de 0 por valores positivos e negativos, 
  pode afetar a direção da curva.
Passo 7
Para encontrar a outra tangente, vamos expressar 
  em função de 
 . Sabemos que 
 , então 
  ou 
 . Substituindo em 
 :
Essas duas expressões indicam que a curva se comporta de duas maneiras diferentes perto de 
 , sugerindo a existência de duas tangentes.
Passo 8
Vamos considerar a equação geral da reta tangente:
Como a tangente passa por 
 , 
 , então:
Sabemos que uma das tangentes tem 
 , então sua equação é 
 .
Passo 9
Para encontrar a outra tangente, observamos o comportamento da curva. Quando 
  se aproxima de 0, a derivada 
  tende a 0, mas precisamos considerar a direção da curva.
Na verdade, ao analisar a curva 
  versus 
 , percebemos que para cada valor positivo e negativo de 
 , a curva se aproxima de 
  de direções diferentes, indicando outra tangente vertical.
Passo 10
Entretanto, uma reta vertical teria uma equação do tipo 
 , mas como 
  no ponto de tangência, a equação da segunda tangente é 
 .
Resposta
As duas tangentes à curva 
  no ponto 
  são: