Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\operatorname{arccos} \left(x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\operatorname{arccos}\bigl(x^{2}\bigr). O conteúdo envolvido é a derivada de funções inversas trigonométricas em conjunto com a regra da cadeia. Para resolver, vamos usar a fórmula da derivada de \operatorname{arccos}(u) e calcular a derivada de u(x)=x^{2}.

Passo 2

Lembrando que a derivada de \operatorname{arccos}(u) em relação a u é
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{arccos}(u)\bigr] = -\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.

Passo 3

Identificando u(x)=x^{2}, aplicamos a derivada de potência e obtemos
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[x^{2}\bigr]=2x.

Passo 4

Pela regra da cadeia,
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arccos}(u(x))\bigr] = \frac{d}{du}\bigl[\operatorname{arccos}(u)\bigr]\Big|_{u=x^{2}}\cdot u'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-(x^{2})^{2}}}\,\cdot 2x = -\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}.

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