As curvas de catástrofe em forma de cauda de andorinha são definidas pelas equações paramétricas x=2 c t-4 t^{3}, y=-c t^{2}+3 t^{4}. Trace várias dessas curvas. Quais as características que essas curvas têm em comum? Como variam quando c aumenta?

Passo 1

O enunciado define uma família de curvas paramétricas, chamadas “cauda de andorinha”, por
x(t)=2\,c\,t \;-\;4\,t^{3},
y(t)=-\,c\,t^{2}\;+\;3\,t^{4},
onde t é o parâmetro real e c>0 é um parâmetro que diferencia cada curva.
Conteúdo: geometria de curvas paramétricas e análise de pontos singulares (cúspides e simetrias). Vamos precisar calcular derivadas em relação a t para caracterizar tangentes, simetrias e localizar cúspides.

Passo 2

Calculamos as derivadas
\frac{dx}{dt}=2\,c \;-\;12\,t^{2},
\frac{dy}{dt}=-2\,c\,t \;+\;12\,t^{3}=2\,t\,(-\,c+6\,t^{2}).
Com isso identificamos:
– Em t=0: \frac{dx}{dt}(0)=2c\neq0 e \frac{dy}{dt}(0)=0, logo a curva é lisa ali e tem tangente horizontal em (x,y)=(0,0).
– Em t^{2}=c/6: \frac{dx}{dt}=0 e \frac{dy}{dt}=0 ao mesmo tempo; são pontos singulares (cúspides).

Passo 3

Localizamos as cúspides em t=\pm\sqrt{\tfrac{c}{6}}. Substituindo em (x,y)
x_{\rm cusp} =2\,c\,t-4\,t^{3} =c^{3/2}\,\frac{4}{3\sqrt{6}} \quad\text{e}\quad y_{\rm cusp} =-\,c\,t^{2}+3\,t^{4} =-\,\frac{c^{2}}{12}.
Há duas cúspides simétricas em relação ao eixo y, localizadas em
\Bigl(\pm\,\tfrac{4}{3\sqrt{6}}\,c^{3/2}\;,\;-\,\tfrac{c^{2}}{12}\Bigr).

Passo 4

Verificamos a simetria da curva: para t\mapsto -t temos
x(-t)=-\,x(t), \quad y(-t)=y(t),
ou seja, as curvas são simétricas em relação ao eixo y. Além disso todas passam pela origem (0,0) com tangente horizontal.

Passo 5

Características comuns a todas as curvas (para qualquer c>0):
  1. Passam por (0,0) com tangente horizontal.
  2. Têm duas cúspides simétricas em relação ao eixo y.
  3. Formam a clássica forma de “cauda de andorinha” com dois braços que saem das cúspides e se entrelaçam em (0,0).

Passo 6

Como varia ao aumentar c?
  1. As cúspides afastam-se da origem: sua abscissa cresce como x_{\rm cusp}\propto c^{3/2} e sua ordenada (negativa) cresce em módulo como \lvert y_{\rm cusp}\rvert\propto c^{2}.
  2. O “tamanho” geral do laço aumenta, mas a forma (simetria e número de cúspides) permanece a mesma.

Resposta

Todas as curvas têm ponto de inflexão horizontal em (0,0), duas cúspides simétricas em relação a y, e uma silhueta em “cauda de andorinha”. À medida que c cresce, as cúspides afastam-se da origem segundo x_{\rm cusp}\sim c^{3/2} e y_{\rm cusp}\sim -\,c^{2}/12, fazendo o laço aumentar de tamanho sem mudar sua topologia.

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