As curvas de catástrofe em forma de cauda de andorinha são definidas pelas equações paramétricas
,
. Trace várias dessas curvas. Quais as características que essas curvas têm em comum? Como variam quando
aumenta?
Passo 1
O enunciado define uma família de curvas paramétricas, chamadas “cauda de andorinha”, por
onde
é o parâmetro real e
é um parâmetro que diferencia cada curva.
Conteúdo: geometria de curvas paramétricas e análise de pontos singulares (cúspides e simetrias). Vamos precisar calcular derivadas em relação a para caracterizar tangentes, simetrias e localizar cúspides.
Conteúdo: geometria de curvas paramétricas e análise de pontos singulares (cúspides e simetrias). Vamos precisar calcular derivadas em relação a
Passo 2
Calculamos as derivadas
Com isso identificamos:
– Em
:
e
, logo a curva é lisa ali e tem tangente horizontal em
.
– Em :
e
ao mesmo tempo; são pontos singulares (cúspides).
– Em
Passo 3
Localizamos as cúspides em
. Substituindo em
dá
Há duas cúspides simétricas em relação ao eixo
, localizadas em
Passo 4
Verificamos a simetria da curva: para
temos
ou seja, as curvas são simétricas em relação ao eixo
. Além disso todas passam pela origem
com tangente horizontal.
Passo 5
Características comuns a todas as curvas (para qualquer
):
- Passam por
com tangente horizontal. - Têm duas cúspides simétricas em relação ao eixo
. - Formam a clássica forma de “cauda de andorinha” com dois braços que saem das cúspides e se entrelaçam em
.
Passo 6
Como varia ao aumentar
?
- As cúspides afastam-se da origem: sua abscissa cresce como
e sua ordenada (negativa) cresce em módulo como . - O “tamanho” geral do laço aumenta, mas a forma (simetria e número de cúspides) permanece a mesma.
Resposta
Todas as curvas têm ponto de inflexão horizontal em
, duas cúspides simétricas em relação a
, e uma silhueta em “cauda de andorinha”. À medida que
cresce, as cúspides afastam-se da origem segundo
e
, fazendo o laço aumentar de tamanho sem mudar sua topologia.