Investigue a família de curvas definidas pelas equações paramétricas
. Como muda o formato quando
aumenta? Ilustre, traçando vários membros da família.
Passo 1
Temos a família de curvas paramétricas
onde
é o parâmetro. O objetivo é ver como o formato muda quando variamos
. Vamos precisar de:
- Analisar o domínio e comportamento para
. - Calcular a derivada
para achar tangentes horizontais/verticais. - Verificar autointerseções resolvendo
com . - Deduzir os casos
, e .
Passo 2
Primeiro, note que
. Para
,
Em
,
e
, sempre temos um ponto “cuspidal” ou com tangente vertical.
Passo 3
Calculamos
Logo,
- Tangente vertical em
(pois e para ). - Tangente horizontal quando
, i.e. (estes existem só se ).
Passo 4
Procuramos autointerseção: queremos
e
Da igualdade de
vem
. Para
inserimos na igualdade de
:
A solução não-trivial é
,
, que existe apenas se
. Logo:
- Para
a curva se auto-intersecta em , formando um laço. - Para
não há auto-interseção (só o cuspide em ).
Passo 5
Resumo dos três casos:
Caso 1:
.
- A equação não tem raízes reais, não há tangentes horizontais.
- A curva é um ramo aberto com cuspide no origem, sem laço.
- A equação
- A curva é um ramo aberto com cuspide no origem, sem laço.
Caso 2:
.
- Ficamos com , a semi-cúbica parabólica com cuspide clássico em
, sem laço.
- Ficamos com
Caso 3:
.
- Há dois pontos de tangente horizontal em .
- A curva cruza a si mesma em , formando um laço de tamanho que cresce com
.
- Há dois pontos de tangente horizontal em
- A curva cruza a si mesma em
- A autointerseção está em
(e no simétrico negativo).
- Conforme aumenta, o laço fica maior em
(pois vai até
) e em
(proporcional a
).
- Conforme
Passo 6
Para ilustrar, escolhemos valores típicos de
e descrevemos o esboço:
-
: curva sem laço, cuspide aguda em . -
: semi-cúbica parabólica . -
: surge um laço pequeno ao redor de . -
: laço em . -
: laço maior em .
Cada curva tem um ramo que vai de
para
subindo e outro descendo, e, quando
, um laço terminado em si mesmo.
Resposta
Para
, a curva é um ramo cuspidal aberto sem auto-interseção.
Ao passar por surge a semi-cúbica parabólica.
Para , aparece um laço auto-intersectado cuja largura em
é
e em
cresce como
.
Ao passar por
Para