Investigue a família de curvas definidas pelas equações paramétricas x=t^{2}, y=t^{3}-c t. Como muda o formato quando c aumenta? Ilustre, traçando vários membros da família.

Passo 1

Temos a família de curvas paramétricas
x = t^2,\quad y = t^3 - c\,t,\qquad t\in\mathbb{R},
onde c é o parâmetro. O objetivo é ver como o formato muda quando variamos c. Vamos precisar de:
  1. Analisar o domínio e comportamento para t\to\pm\infty.
  2. Calcular a derivada \frac{dy}{dx} para achar tangentes horizontais/verticais.
  3. Verificar autointerseções resolvendo (x(t_1),y(t_1))=(x(t_2),y(t_2)) com t_1\neq t_2.
  4. Deduzir os casos c<0, c=0 e c>0.

Passo 2

Primeiro, note que x=t^2\ge0. Para |t|\to\infty,
y\sim t^3\quad\Longrightarrow\quad \text{a curva tem duas “ramificações” que vão para }(x\to+\infty,\;y\to+\infty)\text{ e }(y\to-\infty).çõã
Em t=0, x=0 e y=0, sempre temos um ponto “cuspidal” ou com tangente vertical.

Passo 3

Calculamos
\frac{dx}{dt}=2t,\qquad \frac{dy}{dt}=3t^2 - c.
Logo,
\frac{dy}{dx} =\frac{dy/dt}{dx/dt} =\frac{3t^2 - c}{2t}.
  • Tangente vertical em t=0 (pois dx/dt=0 e dy/dt=-c\neq0 para c\neq0).
  • Tangente horizontal quando dy/dt=0, i.e. 3t^2 - c=0\Rightarrow t = \pm\sqrt{\tfrac{c}{3}} (estes existem só se c>0).

Passo 4

Procuramos autointerseção: queremos t_1^2 = t_2^2 e
t_1^3 - c\,t_1 = t_2^3 - c\,t_2,\quad t_1\neq t_2.
Da igualdade de x vem t_2 = \pm t_1. Para t_2=-t_1 inserimos na igualdade de y:
t_1^3 - c\,t_1 = -t_1^3 + c\,t_1 \quad\Longrightarrow\quad 2t_1^3 - 2c\,t_1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t_1\,(t_1^2 - c)=0.
A solução não-trivial é t_1 = \pm\sqrt{c}, t_2=-t_1, que existe apenas se c>0. Logo:
  • Para c>0 a curva se auto-intersecta em (x,y) = (c,\dots), formando um laço.
  • Para c\le0 não há auto-interseção (só o cuspide em t=0).

Passo 5

Resumo dos três casos:
Caso 1: c<0.
- A equação 3t^2-c=0 não tem raízes reais, não há tangentes horizontais.
- A curva é um ramo aberto com cuspide no origem, sem laço.
Caso 2: c=0.
- Ficamos com x=t^2,\;y=t^3, a semi-cúbica parabólica com cuspide clássico em (0,0), sem laço.
Caso 3: c>0.
- Há dois pontos de tangente horizontal em t=\pm\sqrt{c/3}.
- A curva cruza a si mesma em t=\pm\sqrt{c}, formando um laço de tamanho que cresce com c.
  • A autointerseção está em
x = (\sqrt{c})^2 = c,\quad y = (\sqrt{c})^3 - c\,\sqrt{c} = \tfrac{2}{3\sqrt3}\,c^{3/2}
(e no simétrico negativo).
- Conforme c aumenta, o laço fica maior em x (pois vai até x=c) e em y (proporcional a c^{3/2}).

Passo 6

Para ilustrar, escolhemos valores típicos de c e descrevemos o esboço:
  • c=-1: curva sem laço, cuspide aguda em (0,0).
  • c=0: semi-cúbica parabólica y=t^3.
  • c=0{,}5: surge um laço pequeno ao redor de (x,y)\approx(0{,}5,\pm0{,}19).
  • c=1: laço em (1,\pm2/(3\sqrt3)\approx\pm0{,}38).
  • c=2: laço maior em (2,\pm2/(3\sqrt3)\,2^{3/2}\approx\pm1{,}06).
Cada curva tem um ramo que vai de (0,0) para +\infty subindo e outro descendo, e, quando c>0, um laço terminado em si mesmo.

Resposta

Para c\le0, a curva é um ramo cuspidal aberto sem auto-interseção.
Ao passar por c=0 surge a semi-cúbica parabólica.
Para c>0, aparece um laço auto-intersectado cuja largura em x é c e em y cresce como c^{3/2}.

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