Curvas cônicas são dadas por um par de equações paramétricas no plano cartesiano. Determine a equação cartesiana reduzida e identifique-as nos seguintes casos:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas equações que descrevem uma curva no plano usando um parâmetro
. Nosso objetivo é transformar essas equações paramétricas em uma única equação cartesiana e descobrir que tipo de curva é essa. Para isso, vamos precisar usar trigonometria básica e conhecimentos sobre curvas cônicas, como elipses e circunferências.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as equações que temos:
Nossa missão é eliminar o parâmetro
e relacionar
e
diretamente.
Passo 3
Vamos começar isolando os termos que envolvem
e
:
Agora, vamos dividir ambos os lados de cada equação pelos coeficientes de
e
:
Passo 4
Sabemos que
. Vamos usar essa identidade trigonométrica para relacionar
e
:
Passo 5
Agora, simplificando a equação:
Essa é a equação geral de uma elipse, onde
e
.
Resposta
A equação cartesiana reduzida é:
E a curva representada por essas equações paramétricas é uma elipse com centro no ponto
, semi-eixo maior de comprimento 5 e semi-eixo menor de comprimento 3.