As curvas
\gamma(t)=(t, t,-2 t) e \mu(t)=(5-t, 1,6+t) estão contidas na intersecção dos planos
\left\{\begin{array}{cc} \pi_{1}: & x+y+z=0 \\\ \pi_{2}: & a x+b y+c z+d=0 \end{array}\right.
Determine a, b, c e d.

Passo 1

O enunciado diz que as duas curvas
\gamma(t)=(t,t,-2t),\quad \mu(t)=(5-t,1,6+t)
estão contidas na interseção de dois planos
\pi_{1}:x+y+z=0, \qquad \pi_{2}:a\,x+b\,y+c\,z+d=0.
Para isso, cada ponto de \gamma e de \mu deve satisfazer ambas as equações dos planos.

Passo 2

Testamos primeiro \pi_{1} em \gamma(t). Substituindo (x,y,z)=(t,t,-2t) em x+y+z
t + t + (-2t) = 0,
portanto \gamma(t) de fato pertence a \pi_{1}.

Passo 3

Agora testamos \pi_{1} em \mu(t). Substituindo (x,y,z)=(5-t,1,6+t) em x+y+z
(5-t) + 1 + (6+t) = 12 \neq 0.
Logo \mu(t) não satisfaz a equação x+y+z=0.

Passo 4

Como \mu(t) não está em \pi_{1}, não existe segundo plano \pi_{2} que contenha simultaneamente \gamma e \mu e cuja interseção com \pi_{1} seja ambas as curvas. Há uma inconsistência nos dados fornecidos.

Resposta

Não há como determinar (a,b,c,d) porque \mu(t) não pertence ao plano \pi_{1}:x+y+z=0, e portanto não existem dois planos cuja interseção contenha as duas curvas dadas.

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