Seja f(x, y) definida por f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right), & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right..
(a) Calcule as derivadas parciais de f.
(b) Mostre que f é diferenciável no ponto (0,0). justifique.
e pede (a) as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} em todo ponto, e (b) mostrar que f é diferenciável em (0,0). Para isso vamos usar cadeia para (x,y)\neq(0,0), definição de derivada parcial em (0,0) e o critério de diferenciabilidade via resto o(\|(h,k)\|).
Passo 2
Seja u=x^{2}+y^{2} e defina g(u)=u\sin\bigl(\tfrac1u\bigr). Então para (x,y)\neq(0,0) vale
o que mostra o resto ser o(\|(h,k)\|). Como o mapa linear candidato é zero (já que \partial f/\partial x(0,0)=\partial f/\partial y(0,0)=0), concluímos que f é diferenciável em (0,0).