Seja f(x, y, z) definida por f(x, y, z)=e^{x^{2}+y-z}.
(a) Calcule as derivadas parciais de f.
(b) f é diferenciável no ponto (-1,0,1) ? justifique.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y,z) = e^{\,x^{2}+y-z}
e pede em (a) as derivadas parciais de f e em (b) verificar se f é diferenciável no ponto (-1,0,1). Para as derivadas parciais vamos usar a regra da cadeia aplicada ao exponencial e, para a diferenciabilidade, usaremos o fato de que funções cujas derivadas parciais existem e são contínuas são diferenciáveis.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
A função interna do exponencial é u(x,y,z)=x^2+y-z, cuja derivada em relação a x é \frac{\partial u}{\partial x}=2x. Aplicando a regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{\,u(x,y,z)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x} = 2x\,e^{\,x^{2}+y-z}.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Para u(x,y,z)=x^2+y-z temos \frac{\partial u}{\partial y}=1. Logo,
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{\,u(x,y,z)}\cdot 1 = e^{\,x^{2}+y-z}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}.
Agora \frac{\partial u}{\partial z}=-1, então
\frac{\partial f}{\partial z} = e^{\,u(x,y,z)}\cdot(-1) = -\,e^{\,x^{2}+y-z}.

Passo 5

Verificar diferenciabilidade em (-1,0,1).
As três derivadas parciais que obtivemos existem para todo (x,y,z) e são compostas por funções exponencial e polinômio, portanto são contínuas em todo \mathbb{R}^3. Pelo teorema que garante que existência e continuidade das derivadas parciais em um ponto implicam diferenciabilidade ali, concluímos que f é diferenciável em (-1,0,1).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=2x\,e^{x^{2}+y-z},\quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=e^{x^{2}+y-z},\quad \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=-e^{x^{2}+y-z}.
(b) Sim, f é diferenciável em (-1,0,1), pois suas derivadas parciais existem numa vizinhança e são contínuas nesse ponto.

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