Seja
definida por
.
(a) Calcule as derivadas parciais de
.
(b)
é diferenciável no ponto
? justifique.
(a) Calcule as derivadas parciais de
(b)
Passo 1
O enunciado define
e pede em (a) as derivadas parciais de
e em (b) verificar se
é diferenciável no ponto
. Para as derivadas parciais vamos usar a regra da cadeia aplicada ao exponencial e, para a diferenciabilidade, usaremos o fato de que funções cujas derivadas parciais existem e são contínuas são diferenciáveis.
Passo 2
Calcular
.
A função interna do exponencial é , cuja derivada em relação a
é
. Aplicando a regra da cadeia,
A função interna do exponencial é
Passo 3
Calcular
.
Para temos
. Logo,
Para
Passo 4
Calcular
.
Agora , então
Agora
Passo 5
Verificar diferenciabilidade em
.
As três derivadas parciais que obtivemos existem para todo e são compostas por funções exponencial e polinômio, portanto são contínuas em todo
. Pelo teorema que garante que existência e continuidade das derivadas parciais em um ponto implicam diferenciabilidade ali, concluímos que
é diferenciável em
.
As três derivadas parciais que obtivemos existem para todo
Resposta
(a)
(b) Sim,
é diferenciável em
, pois suas derivadas parciais existem numa vizinhança e são contínuas nesse ponto.