O custo mensal de manutenção de determinado automóvel é analisado em função da idade do veículo.
Idade do veículo (X) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Custo mensal (Y) 8 10 18 29 24 26 29 32 37 42
(30.1) Faça o diagrama de dispersão (não é necessário colocar no Moodle)
(30.2) Calcule o coeficiente de correlação
(30.3) Ajuste uma reta de Y em função de X
(30.4) Qual o valor esperado para Y quando \mathrm{X}=40 ?

Passo 1

O enunciado nos dá dados de idade X (de 1 a 10 anos) e custo mensal Y. Pede-se o coeficiente de correlação, a reta de regressão de Y em função de X e a predição em X=40. Para isso vamos usar as fórmulas clás­sicas de estatística descritiva: médias, S_{xx}, S_{yy}, S_{xy}, correlação
r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}
e regressão linear
b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \quad a = \bar Y - b\,\bar X.

Passo 2

Organizando os cálculos com n=10:
\sum X = 55,\quad \sum Y = 255,\quad \sum X^2 = 385,\quad \sum Y^2 = 7579,\quad \sum XY = 1686.
As médias ficam
\bar X = \frac{55}{10} = 5.5, \quad \bar Y = \frac{255}{10} = 25.5.

Passo 3

Calculamos variâncias e covariância amostral (sem fator 1/(n-1), mas apenas S-somas):
S_{xx} = \sum X^2 - n\,\bar X^2 = 385 - 10\,(5.5)^2 = 82.5,
S_{yy} = \sum Y^2 - n\,\bar Y^2 = 7579 - 10\,(25.5)^2 = 1076.5,
S_{xy} = \sum XY - n\,\bar X\,\bar Y = 1686 - 10\,(5.5)(25.5) = 283.5.

Passo 4

O coeficiente de correlação é
r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}} = \frac{283.5}{\sqrt{82.5 \times 1076.5}} \approx 0.9513.

Passo 5

A reta de regressão de Y em X é
\hat Y = a + b X,
com
b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{283.5}{82.5} \approx 3.4364, \quad a = \bar Y - b\,\bar X = 25.5 - 3.4364\times5.5 \approx 6.6.
Logo
\hat Y = 6.6 + 3.4364\,X.

Passo 6

Para X=40 a predição é
\hat Y(40) = 6.6 + 3.4364\times 40 \approx 144.06.

Resposta

Coeficiente de correlação: r\approx0.9513
Reta ajustada: \hat Y = 6.6 + 3.4364\,X
Valor esperado em X=40: \hat Y(40)\approx144.06

Exercícios relacionados