O custo mensal do uso de um carro depende do número de quilômetros rodados. Lia descobriu que em maio ela gastou \ 380 e guiou 768 km e, em junho, gastou \ 460 e guiou 1280 km .
(a) Expresse o custo mensal C como uma função da distância percorrida d, supondo que a relação linear fomeça um modelo apropriado.
(b) Use a parte (a) para predizer o custo quando forem percorridos 2400 km por mês.
(c) Esboce o gráfico da função. O que a inclinação representa?
(d) O que representa a intersecção com o eixo y ?
(e) Por que uma função linear é um modelo apropriado nessa situação?

Passo 1

O enunciado dá duas observações do custo mensal em função da distância rodada:
  • Maio: custo \$380 para 768 km rodados.
  • Junho: custo \$460 para 1280 km rodados.
O problema pergunta:
(a) Expressar o custo mensal C como função da distância d, supondo relação linear.
(b) Usar essa função para prever o custo quando d=2400 km.
(c) Esboçar o gráfico da função e dizer o que a inclinação representa.
(d) Explicar o que representa a interseção com o eixo y.
(e) Justificar por que um modelo linear é apropriado aqui.

Passo 2

Definição do modelo linear e significado das incógnitas.
Quando assumimos que a relação é linear, escrevemos a função na forma
C(d)=m d + b,
onde:
  • C(d) é o custo mensal em reais/dólares (a unidade do enunciado).
  • d é a distância percorrida em quilômetros por mês.
  • m é a inclinação (slope): representa o custo adicional por quilômetro (custo variável por km).
  • b é a interseção com o eixo y (constante): representa o custo fixo mensal (quando d=0).
Para determinar m e b usamos as duas observações: pontos (d_1,C_1)=(768,380) e (d_2,C_2)=(1280,460).

Passo 3

Cálculo da inclinação m.
A fórmula do coeficiente angular entre dois pontos é
m=\frac{C_2-C_1}{d_2-d_1}.
Substituindo os valores dados:
m=\frac{460-380}{1280-768}=\frac{80}{512}.
Simplificando a fração:
\frac{80}{512}=\frac{5}{32}.
Como número decimal (para compreender a magnitude),
\frac{5}{32}=0,15625.
Interpretação imediata: cada quilômetro adicional aumenta o custo em \frac{5}{32} unidades monetárias, isto é, aproximadamente 0,15625 por km.

Passo 4

Cálculo da interseção b (custo fixo).
Usamos a forma b=C-m d com uma das observações (uso 768,380 porque os números dão conta sem calculadora complicada):
b = 380 - \frac{5}{32}\cdot 768.
Calcule \frac{5}{32}\cdot 768 passo a passo:
\frac{768}{32}=24,\qquad \frac{5}{32}\cdot 768 = 5\cdot 24 = 120.
Logo
b = 380 - 120 = 260.
Portanto a função é
C(d)=\frac{5}{32}d + 260,
ou, em decimal,
C(d)=0,15625\,d + 260.

Passo 5

Resposta da parte (b): prever C(2400).
Aplicando a função:
C(2400)=\frac{5}{32}\cdot 2400 + 260.
Calcule \frac{2400}{32}=75, então
\frac{5}{32}\cdot 2400 = 5\cdot 75 = 375.
Assim
C(2400)=375+260=635.
Portanto o custo previsto é \$635.

Passo 6

Como esboçar o gráfico da função (parte (c)) e interpretação da inclinação.
Para esboçar:
  • Eixo horizontal: d (km); eixo vertical: C (unidade monetária).
  • Marcar o ponto de interseção com o eixo y em (0,260).
  • Marcar os pontos dados (768,380) e (1280,460) (esses pontos pertencem à reta).
  • Traçar a linha reta que passa por esses pontos.
A inclinação \displaystyle m=\frac{5}{32} representa o custo variável por quilômetro: para cada 1 km a mais, o custo sobe \frac{5}{32} (≈ 0,15625) de unidade monetária. Exemplo concreto: um acréscimo de 100 km aumenta o custo em \frac{5}{32}\cdot 100 = 15,625.

Passo 7

O que representa a interseção com o eixo y (parte (d)).
A interseção b=260 é o valor de C quando d=0. Ou seja, é o custo fixo mensal que existe mesmo sem rodar (ex.: seguro, licenciamento, estacionamento, manutenção fixa). É a parte do gasto que não depende da distância rodada.

Passo 8

Por que um modelo linear é apropriado (parte (e)).
Raciocínio prático:
  • Muitos custos do carro têm duas parcelas: uma fixa mensal (seguro, IPVA/parcelas, garagem) e outra proporcional à quilometragem (combustível, desgaste por km). Isso motiva o modelo
\text{custo} = \text{fixo} + (\text{custo por km})\times d,
que é exatamente uma reta.
  • Com duas medições distintas, os dados caem numa única reta (duas observações determinam uma reta), e os coeficientes obtidos têm interpretação física razoável (custo por km e custo fixo).
  • Observação de limite: o modelo linear é apropriado enquanto o custo variável por km permanecer aproximadamente constante; para extremos (muito poucos ou muitos km) pode haver variações (mudança de consumo, manutenção extraordinária), mas para a faixa dada é razoável.

Resposta

(a) C(d)=\dfrac{5}{32}d+260.
(b) C(2400)=\$635.
(c) Gráfico: reta passando por (0,260), (768,380) e (1280,460). A inclinação \dfrac{5}{32} representa o custo adicional por quilômetro (≈ $0,15625 por km).
(d) A interseção com o eixo y ( 260) representa o custo fixo mensal quando d=0.
(e) Porque o custo se decompõe em uma parte fixa mais uma parte proporcional à quilometragem; assim custo total ≈ fixo + (custo por km)· d, que é uma função linear.

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