O custo mensal do uso de um carro depende do número de quilômetros rodados. Lia descobriu que em maio ela gastou
380
460 e guiou 1280 km .
(a) Expresse o custo mensal
como uma função da distância percorrida
, supondo que a relação linear fomeça um modelo apropriado.
(b) Use a parte (a) para predizer o custo quando forem percorridos 2400 km por mês.
(c) Esboce o gráfico da função. O que a inclinação representa?
(d) O que representa a intersecção com o eixo
?
(e) Por que uma função linear é um modelo apropriado nessa situação?
(a) Expresse o custo mensal
(b) Use a parte (a) para predizer o custo quando forem percorridos 2400 km por mês.
(c) Esboce o gráfico da função. O que a inclinação representa?
(d) O que representa a intersecção com o eixo
(e) Por que uma função linear é um modelo apropriado nessa situação?
Passo 1
O enunciado dá duas observações do custo mensal em função da distância rodada:
- Maio: custo
para km rodados. - Junho: custo
para km rodados.
O problema pergunta:
(a) Expressar o custo mensal como função da distância
, supondo relação linear.
(b) Usar essa função para prever o custo quando km.
(c) Esboçar o gráfico da função e dizer o que a inclinação representa.
(d) Explicar o que representa a interseção com o eixo .
(e) Justificar por que um modelo linear é apropriado aqui.
(a) Expressar o custo mensal
(b) Usar essa função para prever o custo quando
(c) Esboçar o gráfico da função e dizer o que a inclinação representa.
(d) Explicar o que representa a interseção com o eixo
(e) Justificar por que um modelo linear é apropriado aqui.
Passo 2
Definição do modelo linear e significado das incógnitas.
Quando assumimos que a relação é linear, escrevemos a função na forma
onde:
-
é o custo mensal em reais/dólares (a unidade do enunciado). -
é a distância percorrida em quilômetros por mês. -
é a inclinação (slope): representa o custo adicional por quilômetro (custo variável por km). -
é a interseção com o eixo (constante): representa o custo fixo mensal (quando ).
Para determinar
e
usamos as duas observações: pontos
e
.
Passo 3
Cálculo da inclinação
.
A fórmula do coeficiente angular entre dois pontos é
Substituindo os valores dados:
Simplificando a fração:
Como número decimal (para compreender a magnitude),
Interpretação imediata: cada quilômetro adicional aumenta o custo em
unidades monetárias, isto é, aproximadamente
por km.
Passo 4
Cálculo da interseção
(custo fixo).
Usamos a forma
com uma das observações (uso
porque os números dão conta sem calculadora complicada):
Calcule
passo a passo:
Logo
Portanto a função é
ou, em decimal,
Passo 5
Resposta da parte (b): prever
.
Aplicando a função:
Calcule
, então
Assim
Portanto o custo previsto é
.
Passo 6
Como esboçar o gráfico da função (parte (c)) e interpretação da inclinação.
Para esboçar:
- Eixo horizontal:
(km); eixo vertical: (unidade monetária). - Marcar o ponto de interseção com o eixo
em . - Marcar os pontos dados
e (esses pontos pertencem à reta). - Traçar a linha reta que passa por esses pontos.
A inclinação
representa o custo variável por quilômetro: para cada
km a mais, o custo sobe
(≈
) de unidade monetária. Exemplo concreto: um acréscimo de
km aumenta o custo em
.
Passo 7
O que representa a interseção com o eixo
(parte (d)).
A interseção
é o valor de
quando
. Ou seja, é o custo fixo mensal que existe mesmo sem rodar (ex.: seguro, licenciamento, estacionamento, manutenção fixa). É a parte do gasto que não depende da distância rodada.
Passo 8
Por que um modelo linear é apropriado (parte (e)).
Raciocínio prático:
- Muitos custos do carro têm duas parcelas: uma fixa mensal (seguro, IPVA/parcelas, garagem) e outra proporcional à quilometragem (combustível, desgaste por km). Isso motiva o modelo
que é exatamente uma reta.
- Com duas medições distintas, os dados caem numa única reta (duas observações determinam uma reta), e os coeficientes obtidos têm interpretação física razoável (custo por km e custo fixo).
- Observação de limite: o modelo linear é apropriado enquanto o custo variável por km permanecer aproximadamente constante; para extremos (muito poucos ou muitos km) pode haver variações (mudança de consumo, manutenção extraordinária), mas para a faixa dada é razoável.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) Gráfico: reta passando por ,
e
. A inclinação
representa o custo adicional por quilômetro (≈ $0,15625 por km).
(d) A interseção com o eixo (
) representa o custo fixo mensal quando
.
(e) Porque o custo se decompõe em uma parte fixa mais uma parte proporcional à quilometragem; assim custo total ≈ fixo + (custo por km)· , que é uma função linear.
(b)
(c) Gráfico: reta passando por
(d) A interseção com o eixo
(e) Porque o custo se decompõe em uma parte fixa mais uma parte proporcional à quilometragem; assim custo total ≈ fixo + (custo por km)·