(a) Encontre uma equação para a família de funções lineares com inclinação 2 e esboce os gráficos de vários membros da família.
(b) Encontre uma equação para a família de funções lineares tais que
e esboce os gráficos de vários membros da família.
(c) Qual função pertence a ambas as famílias?
(b) Encontre uma equação para a família de funções lineares tais que
(c) Qual função pertence a ambas as famílias?
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:
- Há três partes: (a), (b) e (c).
- (a) Pede: encontrar uma equação que descreva a família de todas as funções lineares que têm inclinação
, e esboçar vários gráficos dessa família. - (b) Pede: encontrar uma equação que descreva a família de todas as funções lineares tais que
, e esboçar vários gráficos dessa família. - (c) Pede: determinar qual função (se houver) pertence às duas famílias ao mesmo tempo.
Informações relevantes dadas (que usaremos):
- Uma função linear tem, em geral, a forma
, em que é a inclinação da reta e é o coeficiente linear (intercepto em ). - Para (a) sabemos que a inclinação
vale . - Para (b) sabemos que a reta passa pelo ponto
, isto é .
Passo 2
Explicando a forma geral e o significado de inclinação e intercepto (aula rápida e útil para a prova).
- A forma mais comum de uma reta é a forma inclinação-intercepto:
onde:
-
é a inclinação (ou coeficiente angular). Ela diz o quanto aumenta quando aumenta em uma unidade. Por exemplo, se então quando aumenta de a saída aumenta em . -
é o coeficiente linear (intercepto em ), é o valor , ou seja, onde a reta cruza o eixo . - Outra forma útil é a forma ponto-inclinação, quando se sabe que a reta passa por um ponto
:
Essa forma deixa explícito que a reta tem inclinação
e passa por
. Na prova, essa forma é ótima para usar quando dão um ponto e pedem a família de retas que passam por ele.
Passo 3
Resolvendo (a): família de funções lineares com inclinação
.
- Como a inclinação é fixa em
, basta pôr na forma geral . O parâmetro livre é o intercepto , que pode ser qualquer número real. - Logo a família procurada é
- Interpretação geométrica e dica de esboço: todas essas retas são paralelas entre si (porque têm a mesma inclinação). Para esboçar vários membros da família na prova:
- Escolha alguns valores de
: por exemplo . - Para cada
calcule o intercepto e desenhe a reta com inclinação passando por . Como , a cada passo à direita de 1 unidade em sobe-se 2 unidades em .
- Escolha alguns valores de
- Exemplos concretos (úteis para praticar na prova):
-
passa por e por . -
passa por e por . -
passa por e por .
-
Passo 4
Resolvendo (b): família de funções lineares tais que
.
- Comece da forma geral
. Impondo obtemos:
- Isolando
obtemos
- Substituindo de volta em
dá uma forma da família em que é o parâmetro livre:
- Alternativamente, usando a forma ponto-inclinação com o ponto
:
que é a mesma família escrita de modo mais direto: todas as retas com inclinação arbitrária
que passam pelo ponto
.
- Interpretação geométrica e dica de esboço: todas essas retas passam pelo mesmo ponto
, portanto, ao desenhar várias, elas “giraram” em torno desse ponto (parece um leque). Para esboçar: - Marque o ponto
. - Escolha alguns valores de
: por exemplo . - Para cada
desenhe a reta que passa por com essa inclinação (usar a regra subida/avanço: se sobe 1 para a direita 1; se desce 2 para a direita 1, etc.).
- Marque o ponto
- Exemplos concretos:
- Para
: (reta horizontal ). - Para
: . - Para
: .
- Para
Passo 5
Resolvendo (c): função que pertence a ambas as famílias.
- Uma função que está em ambas as famílias precisa ter inclinação
(condição de (a)) e também satisfazer (condição de (b)). - Use a expressão da família de (b):
. Impor dá
- Simplificando:
- Verificação rápida (sempre bom mostrar na prova):
, ok; e a inclinação é , ok. - Observação conceitual: geometricamente é único o membro comum porque a família (a) são retas paralelas de inclinação
(varia apenas o intercepto) e a família (b) são retas que passam por um ponto fixo. Há exatamente uma reta de inclinação que passa por o ponto .
Resposta
(a)
(b)
(c)