(a) Encontre uma equação para a família de funções lineares com inclinação 2 e esboce os gráficos de vários membros da família.
(b) Encontre uma equação para a família de funções lineares tais que f(2)=1 e esboce os gráficos de vários membros da família.
(c) Qual função pertence a ambas as famílias?

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Há três partes: (a), (b) e (c).
  • (a) Pede: encontrar uma equação que descreva a família de todas as funções lineares que têm inclinação 2, e esboçar vários gráficos dessa família.
  • (b) Pede: encontrar uma equação que descreva a família de todas as funções lineares tais que f(2)=1, e esboçar vários gráficos dessa família.
  • (c) Pede: determinar qual função (se houver) pertence às duas famílias ao mesmo tempo.
Informações relevantes dadas (que usaremos):
  • Uma função linear tem, em geral, a forma f(x)=mx+b, em que m é a inclinação da reta e b é o coeficiente linear (intercepto em y).
  • Para (a) sabemos que a inclinação m vale 2.
  • Para (b) sabemos que a reta passa pelo ponto (2,1), isto é f(2)=1.

Passo 2

Explicando a forma geral e o significado de inclinação e intercepto (aula rápida e útil para a prova).
  • A forma mais comum de uma reta é a forma inclinação-intercepto:
f(x)=mx+b,
onde:
  • \,m é a inclinação (ou coeficiente angular). Ela diz o quanto f(x) aumenta quando x aumenta em uma unidade. Por exemplo, se m=2 então quando x aumenta de 1 a saída f(x) aumenta em 2.
  • \,b é o coeficiente linear (intercepto em y), é o valor f(0), ou seja, onde a reta cruza o eixo y.
  • Outra forma útil é a forma ponto-inclinação, quando se sabe que a reta passa por um ponto (x_0,y_0):
f(x)=m(x-x_0)+y_0.
Essa forma deixa explícito que a reta tem inclinação m e passa por (x_0,y_0). Na prova, essa forma é ótima para usar quando dão um ponto e pedem a família de retas que passam por ele.

Passo 3

Resolvendo (a): família de funções lineares com inclinação 2.
  • Como a inclinação é fixa em 2, basta pôr m=2 na forma geral f(x)=mx+b. O parâmetro livre é o intercepto b, que pode ser qualquer número real.
  • Logo a família procurada é
f(x)=2x+b,\qquad b\in\mathbb{R}.
  • Interpretação geométrica e dica de esboço: todas essas retas são paralelas entre si (porque têm a mesma inclinação). Para esboçar vários membros da família na prova:
    1. Escolha alguns valores de b: por exemplo b=-3,-1,0,2,4.
    2. Para cada b calcule o intercepto f(0)=b e desenhe a reta com inclinação 2 passando por (0,b). Como m=2, a cada passo à direita de 1 unidade em x sobe-se 2 unidades em y.
  • Exemplos concretos (úteis para praticar na prova):
    • f(x)=2x-3 passa por (0,-3) e por (1,-1).
    • f(x)=2x+0 passa por (0,0) e por (1,2).
    • f(x)=2x+4 passa por (0,4) e por (1,6).

Passo 4

Resolvendo (b): família de funções lineares tais que f(2)=1.
  • Comece da forma geral f(x)=mx+b. Impondo f(2)=1 obtemos:
f(2)=m\cdot 2 + b = 1.
  • Isolando b obtemos
b=1-2m.
  • Substituindo de volta em f(x) dá uma forma da família em que m é o parâmetro livre:
f(x)=mx+(1-2m),\qquad m\in\mathbb{R}.
  • Alternativamente, usando a forma ponto-inclinação com o ponto (2,1):
f(x)=m(x-2)+1,\qquad m\in\mathbb{R},
que é a mesma família escrita de modo mais direto: todas as retas com inclinação arbitrária m que passam pelo ponto (2,1).
  • Interpretação geométrica e dica de esboço: todas essas retas passam pelo mesmo ponto (2,1), portanto, ao desenhar várias, elas “giraram” em torno desse ponto (parece um leque). Para esboçar:
    1. Marque o ponto (2,1).
    2. Escolha alguns valores de m: por exemplo m=-2,-1,0,1,2.
    3. Para cada m desenhe a reta que passa por (2,1) com essa inclinação (usar a regra subida/avanço: se m=1 sobe 1 para a direita 1; se m=-2 desce 2 para a direita 1, etc.).
  • Exemplos concretos:
    • Para m=0: f(x)=0\cdot(x-2)+1=1 (reta horizontal y=1).
    • Para m=1: f(x)=1\cdot(x-2)+1=x-1.
    • Para m=-1: f(x)=-1(x-2)+1=-x+3.

Passo 5

Resolvendo (c): função que pertence a ambas as famílias.
  • Uma função que está em ambas as famílias precisa ter inclinação 2 (condição de (a)) e também satisfazer f(2)=1 (condição de (b)).
  • Use a expressão da família de (b): f(x)=m(x-2)+1. Impor m=2
f(x)=2(x-2)+1.
  • Simplificando:
f(x)=2x-4+1=2x-3.
  • Verificação rápida (sempre bom mostrar na prova): f(2)=2\cdot 2-3=4-3=1, ok; e a inclinação é 2, ok.
  • Observação conceitual: geometricamente é único o membro comum porque a família (a) são retas paralelas de inclinação 2 (varia apenas o intercepto) e a família (b) são retas que passam por um ponto fixo. Há exatamente uma reta de inclinação 2 que passa por o ponto (2,1).

Resposta

(a) f(x)=2x+b,\\ b\in\mathbb{R}.
(b) f(x)=m(x-2)+1,\\ m\in\mathbb{R}.
(c) f(x)=2x-3.

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