Por que o custo variável médio e o custo médio aumentam quando o custo marginal torna-se maior do que eles? Em outras palavras, por que a curva de custo marginal corta as curvas de custo variável médio e custo médio em seus mínimos?

Passo 1

Beleza, vamos lá. A pergunta é: “Por que o custo variável médio (CVM) e o custo médio (CM) sobem quando o custo marginal (CMg) fica maior que eles? Por que a curva do CMg corta as curvas de CVM e CM bem nos pontos em que elas estão mínimas?”
Conteúdo: teoria de custos em microeconomia, usando definições de custo total, custo médio e custo marginal e saber um pouquinho de cálculo (derivada). Vamos precisar definir essas funções e entender a relação entre média e marginal.

Passo 2

Primeiro, as definições:
  1. Custo Total: C(Q) = Custo Fixo + Custo Variável = CF + CV(Q).
  2. Custo Variável Médio:
CVM(Q) = CV(Q)Q
3) Custo Médio:
CM(Q) = C(Q)Q = CF + CV(Q)Q
  1. Custo Marginal (derivada do Custo Total):
CMg(Q) = d,C(Q)dQ

Passo 3

Agora, a intuição de “média versus marginal”:
Pensa assim: você tá fazendo a média de notas (é o seu “CM” ou “CVM”). Se a próxima nota (o “CMg”) for menor que sua média atual, essa próxima nota vai puxar sua média para baixo. Se for maior, puxa para cima. Mesma ideia aqui: se CMg < média de custos, média cai; se CMg > média, média sobe.

Passo 4

Podemos ver isso no cálculo:
Vamos olhar a derivada do custo médio em relação à quantidade Q:
CM(Q) = C(Q)Q
Diferenciando em relação a Q (usando a regra do quociente):
d;CMdQ = Qcdot CMg(Q) - C(Q)Q^2
Mas como C(Q)/Q = CM(Q), isso vira
d;CMdQ = CMg(Q) - CM(Q)Q
Logo:
- Se CMg(Q) < CM(Q), então d,CM/dQ < 0 → o custo médio está caindo.
- Se CMg(Q) > CM(Q), então d,CM/dQ > 0 → o custo médio está subindo.
O mesmo raciocínio vale para o custo variável médio substituindo C(Q) por CV(Q).

Passo 5

No ponto mínimo de CM ou de CVM a derivada é zero. Pela fórmula acima, isso só acontece quando
CMg(Q) = CM(Q)ou CMg(Q) = CVM(Q)
Ou seja, justamente onde as curvas de custo marginal cortam as médias, elas alcançam seu valor mínimo.

Resposta

Porque sempre que o custo marginal (o “custo da próxima unidade”) fica acima do custo médio (ou do custo variável médio), ele empurra a média para cima. Matematicamente, a derivada do custo médio é proporcional a (CMg - CM), então muda de sinal no ponto em que CMg = CM, marcando o mínimo da curva. O mesmo vale para o custo variável médio.

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