Por que o custo variável médio e o custo médio aumentam quando o custo marginal torna-se maior do que eles? Em outras palavras, por que a curva de custo marginal corta as curvas de custo variável médio e custo médio em seus mínimos?
Passo 1
Beleza, vamos lá. A pergunta é: “Por que o custo variável médio (CVM) e o custo médio (CM) sobem quando o custo marginal (CMg) fica maior que eles? Por que a curva do CMg corta as curvas de CVM e CM bem nos pontos em que elas estão mínimas?”
Conteúdo: teoria de custos em microeconomia, usando definições de custo total, custo médio e custo marginal e saber um pouquinho de cálculo (derivada). Vamos precisar definir essas funções e entender a relação entre média e marginal.
Conteúdo: teoria de custos em microeconomia, usando definições de custo total, custo médio e custo marginal e saber um pouquinho de cálculo (derivada). Vamos precisar definir essas funções e entender a relação entre média e marginal.
Passo 2
Primeiro, as definições:
- Custo Total: C(Q) = Custo Fixo + Custo Variável = CF + CV(Q).
- Custo Variável Médio:
3) Custo Médio:
- Custo Marginal (derivada do Custo Total):
Passo 3
Agora, a intuição de “média versus marginal”:
Pensa assim: você tá fazendo a média de notas (é o seu “CM” ou “CVM”). Se a próxima nota (o “CMg”) for menor que sua média atual, essa próxima nota vai puxar sua média para baixo. Se for maior, puxa para cima. Mesma ideia aqui: se CMg < média de custos, média cai; se CMg > média, média sobe.
Pensa assim: você tá fazendo a média de notas (é o seu “CM” ou “CVM”). Se a próxima nota (o “CMg”) for menor que sua média atual, essa próxima nota vai puxar sua média para baixo. Se for maior, puxa para cima. Mesma ideia aqui: se CMg < média de custos, média cai; se CMg > média, média sobe.
Passo 4
Podemos ver isso no cálculo:
Vamos olhar a derivada do custo médio em relação à quantidade Q:
Vamos olhar a derivada do custo médio em relação à quantidade Q:
Diferenciando em relação a Q (usando a regra do quociente):
Mas como
, isso vira
Logo:
- Se
- Se
O mesmo raciocínio vale para o custo variável médio substituindo
por
.
Passo 5
No ponto mínimo de CM ou de CVM a derivada é zero. Pela fórmula acima, isso só acontece quando
Ou seja, justamente onde as curvas de custo marginal cortam as médias, elas alcançam seu valor mínimo.
Resposta
Porque sempre que o custo marginal (o “custo da próxima unidade”) fica acima do custo médio (ou do custo variável médio), ele empurra a média para cima. Matematicamente, a derivada do custo médio é proporcional a
, então muda de sinal no ponto em que
, marcando o mínimo da curva. O mesmo vale para o custo variável médio.