A cylinder contains 38 \mathrm{~m}^{3} of air at 49^{\circ} \mathrm{C} and 280000 Pa . The air is then compressed to 7.6 \mathrm{~m}^{3}. Assuming isothermal conditions, what are the pressure at the new volume and the bulk modulus of elasticity?

Passo 1

O enunciado descreve ar ideal contido num cilindro com volume inicial V_i=38\\ \mathrm m^3, temperatura constante ( 49^\circ\mathrm C) e pressão inicial p_i=280\,000\\ \mathrm{Pa}. Em seguida o ar é comprimido isothermalmente até o volume final V_f=7{,}6\\ \mathrm m^3. Precisamos achar a pressão final p_f e o módulo de elasticidade volumétrica (bulk modulus) desse processo.

Passo 2

Como o processo é isoterma de gás ideal, vale a lei
p_i\,V_i = p_f\,V_f.
Isolando p_f, temos
p_f = \frac{p_i\,V_i}{V_f} = \frac{280\,000\\ \mathrm{Pa}\,\times 38\\ \mathrm m^3}{7{,}6\\ \mathrm m^3} = 1{,}40\times10^6\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

O módulo de elasticidade volumétrica é definido por
K = -\,V\,\frac{\mathrm d p}{\mathrm d V}.
Para a isoterma pV=\mathrm{constante}, escrevemos p=C/V, de modo que
\frac{\mathrm d p}{\mathrm d V} = -\frac{C}{V^2} = -\frac{p}{V}.
Logo
K=-V\biggl(-\frac{p}{V}\biggr)=p.

Passo 4

No estado final, o módulo de elasticidade volumétrica vale exatamente a pressão final; ou seja,
K = p_f = 1{,}40\times10^6\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

A pressão no volume 7{,}6\\ \mathrm m^3 é 1{,}40\times10^6\\ \mathrm{Pa} e o módulo de elasticidade volumétrica é 1{,}40\times10^6\\ \mathrm{Pa}.

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