D. 116 (*) Determinar n tal que \sum_{k=3}^{n} 2^{k}=4088

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o inteiro n tal que a soma dos termos de uma progressão geométrica de razão 2, iniciando em k=3 até k=n, seja 4088. Vamos usar a fórmula da soma de potências de 2.

Passo 2

A soma de 2^k de k=3 até k=n pode ser obtida subtraindo a soma de k=0 a 2 da soma de k=0 a n. Sabemos que
\sum_{k=0}^{n}2^k = 2^{n+1}-1
e
\sum_{k=0}^{2}2^k = 2^{3}-1 = 7.
Logo,
\sum_{k=3}^{n}2^k = \bigl(2^{n+1}-1\bigr) - 7 = 2^{n+1} - 8.

Passo 3

Igualamos essa expressão a 4088:
2^{n+1} - 8 = 4088.
Isso implica
2^{n+1} = 4088 + 8 = 4096.

Passo 4

Observando que 4096 = 2^{12}, concluímos que
n + 1 = 12 \quad\Longrightarrow\quad n = 11.

Resposta

n = 11

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