Qual é a geratriz das dízimas periódicas abaixo? 0,417417417 \ldots
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a fração geratriz da dízima periódica pura 0,\overline{417}. Para isso, vamos usar a técnica de definir x=0,\overline{417}, multiplicar por 10^k (onde k é o número de algarismos do período), subtrair e resolver para x.
Passo 2
Seja
x = 0,\overline{417}.
Como o período tem 3 algarismos, multiplicamos ambos os lados por 10^3=1000:
1000x = 417,\overline{417}.
Subtraindo a expressão original de 1000x, obtemos
1000x - x = 417,\overline{417} - 0,\overline{417} = 417,
ou seja
999x = 417.
Passo 3
Isolando x,
x = \frac{417}{999}.
Passo 4
Agora simplificamos a fração. Como \gcd(417,999)=3, dividimos numerador e denominador por 3: