D.2- Mostre que (A cdot nabla) r=A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que (Acdotnabla)r=A. É um exercício de cálculo vetorial em que precisamos usar a definição do operador direcional (Acdotnabla) aplicado ao vetor posição r.

Passo 2

Recordando que
A = Aximath + Ayjmath + Azk
e que o operador direcional é
(Acdotnabla) = Ax partialpartial x + Ay partialpartial y + Az partialpartial z

Passo 3

O vetor posição é
r = ximath + yjmath + zk
Logo, podemos aplicar o operador componente a componente.

Passo 4

Aplicando o operador, temos
(Acdotnabla)r = l[(Acdotnabla)xr]imath + l[(Acdotnabla)yr]jmath + l[(Acdotnabla)zr]k
Como
(Acdotnabla)x=Ax, (Acdotnabla)y=Ay, (Acdotnabla)z=Az,
concluímos cada componente diretamente.

Passo 5

Reagrupando as componentes, obtemos
(Acdotnabla)r = Aximath + Ayjmath + Azk = A

Resposta

(Acdotnabla)r = A

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