E.2- Encontre o trabalho realizado pela força F=6 x y i+(3 x^2-3 y^2) j ao longo da curva y=x^2-x, de (0,0) a (2,2).

Passo 1

O enunciado pede o trabalho da força
F=6xy,i+l(3x^2-3y^2r),j
ao longo da curva y=x^2-x do ponto (0,0) até (2,2).
Isso é um integral de linha do tipo
W=integralCFcdot dr,
e vamos usar o fato de que, se vec F é conservativa,
então W=phi(2,2)-phi(0,0) para alguma função potencial phi(x,y).

Passo 2

Verificamos que vec F é conservativa checando as derivadas parciais:
partial Fxpartial y =partialpartial y(6xy)=6x, partial Fypartial x =partialpartial xl(3x^2-3y^2r)=6x
Como são iguais em todo R^2, existe potencial phi tal que
phix=6xy e phiy=3x^2-3y^2.

Passo 3

Para achar phi, integramos
phix=6xy Longrightarrow phi(x,y)=integral6xy,dx=3x^2y+g(y)
Depois impomos
phiy =partialpartial y(3x^2y+g(y)) =3x^2+g'(y) overset!=3x^2-3y^2,
logo g'(y)=-3y^2 e g(y)=-y^3.
Assim
phi(x,y)=3x^2y-y^3+C,
onde C é constante irrelevante para o trabalho.

Passo 4

O trabalho é a diferença de potencial entre os pontos finais e iniciais:
W=phi(2,2)-phi(0,0) =l(3cdot2^2cdot2-2^3r)-0 =(3cdot4cdot2-8)=24-8=16

Resposta

16

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