A velocidade de uma partícula em função de tempo
é dada por:
, onde
e
. A partícula está no ponto
no instante
. Calcule no instante de
: (a) a posição
ponto]; (b) a velocidade
[
ponto]; (c) a aceleração
ponto].
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a velocidade de uma partícula em função do tempo, dada por:
Onde:
A partícula inicia no ponto
no instante
.
Precisamos calcular, no instante
:
(a) A posição ,
(b) A velocidade ,
(c) A aceleração .
(a) A posição
(b) A velocidade
(c) A aceleração
Para resolver isso, vamos precisar integrar a função da velocidade para obter a posição e derivar a velocidade para obter a aceleração.
Passo 2
Vamos calcular a velocidade no instante
.
A função da velocidade já está dada:
Substituindo os valores de
,
e
e o tempo
:
Primeiro, converter
para metros:
Agora, calcular cada componente:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a posição
no instante
.
A posição é obtida integrando a velocidade em relação ao tempo. A fórmula geral é:
Vamos integrar cada componente separadamente.
Para a componente
:
Integrando:
Como no instante
,
, o
.
Então:
Substituindo os valores:
Para a componente
:
Integrando:
Como no instante
,
(já que não há componente
na posição inicial):
Então:
Substituindo os valores:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a aceleração
no instante
.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. A fórmula geral é:
Vamos derivar cada componente da velocidade.
Para a componente
:
Derivando:
Substituindo os valores:
Para a componente
:
Derivando:
Substituindo os valores:
Portanto:
Resposta
(a) A posição no instante de
é:
(b) A velocidade no instante de
é:
(c) A aceleração no instante de
é: