A velocidade de uma partícula em função de tempo t é dada por: v(t)=A t^2 i+(B t+C) j, onde A=2,00 cm / s^3, B=0,150 m / s^2 e C=1,00 m / s. A partícula está no ponto r0=200 cm i no instante t=0,00. Calcule no instante de t=10,0 s : (a) a posição r[0 , 5 ponto]; (b) a velocidade v [ 0 , 5 ponto]; (c) a aceleração a[0 , 5 ponto].

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a velocidade de uma partícula em função do tempo, dada por:
v(t) = A t^2 i + (B t + C) j
Onde:
  • A = 2,00 , cm/s^3
  • B = 0,150 , m/s^2
  • C = 1,00 , m/s
A partícula inicia no ponto r0 = 200 , cm , i no instante t = 0 .
Precisamos calcular, no instante t = 10,0 , s :
(a) A posição r ,
(b) A velocidade v ,
(c) A aceleração a .
Para resolver isso, vamos precisar integrar a função da velocidade para obter a posição e derivar a velocidade para obter a aceleração.

Passo 2

Vamos calcular a velocidade no instante t = 10,0 , s .
A função da velocidade já está dada:
v(t) = A t^2 i + (B t + C) j
Substituindo os valores de A , B e C e o tempo t = 10,0 , s :
Primeiro, converter A para metros:
A = 2,00 , cm/s^3 = 0,0200 , m/s^3
Agora, calcular cada componente:
vx(10) = 0,0200 times (10)^2 = 0,0200 times 100 = 2,00 , m/s
vy(10) = 0,150 times 10 + 1,00 = 1,50 + 1,00 = 2,50 , m/s
Então:
v(10) = 2,00 , i + 2,50 , j , m/s

Passo 3

Agora, vamos calcular a posição r no instante t = 10,0 , s .
A posição é obtida integrando a velocidade em relação ao tempo. A fórmula geral é:
r(t) = r0 + integral0^t v(tau) , dtau
Vamos integrar cada componente separadamente.
Para a componente i :
vx(t) = A t^2
Integrando:
integral vx(t) , dt = integral A t^2 , dt = A3 t^3 + Cx
Como no instante t = 0 , r = r0 , o Cx = r0x .
Então:
rx(t) = A3 t^3 + r0x
Substituindo os valores:
rx(10) = 0,02003 times (10)^3 + 2,00 = 0,02003 times 1000 + 2,00 = 20,03 + 2,00 approx 6,67 + 2,00 = 8,67 , m
Para a componente j :
vy(t) = B t + C
Integrando:
integral vy(t) , dt = integral (B t + C) , dt = B2 t^2 + C t + Cy
Como no instante t = 0 , ry(0) = 0 (já que não há componente j na posição inicial):
Cy = 0
Então:
ry(t) = B2 t^2 + C t
Substituindo os valores:
ry(10) = 0,1502 times (10)^2 + 1,00 times 10 = 0,075 times 100 + 10 = 7,5 + 10 = 17,5 , m
Portanto:
r(10) = 8,67 , i + 17,5 , j , m

Passo 4

Agora, vamos calcular a aceleração a no instante t = 10,0 , s .
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. A fórmula geral é:
a(t) = dvdt
Vamos derivar cada componente da velocidade.
Para a componente i :
vx(t) = A t^2
Derivando:
ax(t) = ddt (A t^2) = 2A t
Substituindo os valores:
ax(10) = 2 times 0,0200 times 10 = 0,0400 times 10 = 0,400 , m/s^2
Para a componente j :
vy(t) = B t + C
Derivando:
ay(t) = ddt (B t + C) = B
Substituindo os valores:
ay(10) = 0,150 , m/s^2
Portanto:
a(10) = 0,400 , i + 0,150 , j , m/s^2

Resposta

(a) A posição no instante de t = 10,0 , s é:
r(10) = 8,67 , i + 17,5 , j , m
(b) A velocidade no instante de t = 10,0 , s é:
v(10) = 2,00 , i + 2,50 , j , m/s
(c) A aceleração no instante de t = 10,0 , s é:
a(10) = 0,400 , i + 0,150 , j , m/s^2

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