g) Utilize L’Hospital para determinar
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{x^{n}}
onde n é um natural positivo fixado.

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^n}
onde n é um natural fixo e positivo. Vamos usar a regra de L’Hospital, que permite trocar um quociente em indeterminação do tipo \tfrac{\infty}{\infty} pelo quociente das derivadas.

Passo 2

Verificamos que
\lim_{x\to\infty}e^x=\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to\infty}x^n=\infty,
portanto a forma é \tfrac{\infty}{\infty} e L’Hospital é aplicável.

Passo 3

Ao aplicar L’Hospital k vezes 1\le k\le n, cada derivada de x^m reduz o expoente em 1 e gera um fator m. Assim, após n aplicações chegamos a
\frac{e^x}{n!}.

Passo 4

Basta então calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{n!} =\frac{1}{n!}\lim_{x\to\infty}e^x =\frac{1}{n!}\cdot\infty =\infty.

Resposta

\infty

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