(d) Mostre que se
é uma raiz quadrada de
, então
também é uma raiz quadrada de
.
Passo 1
O enunciado diz: seja
uma raiz quadrada de
. Isto significa que foi dada a relação
A tarefa é mostrar que
também é uma raiz quadrada de
, ou seja, provar que
Informações relevantes (retiradas do enunciado): temos
. Não foram fornecidos mais dados; portanto a demonstração deve usar apenas as propriedades algébricas básicas (multiplicação e o papel do escalar
).
Passo 2
Entender o que significa
. Para números e para matrizes (ou, em geral, elementos de um anel com multiplicação por escalares) o símbolo
representa a multiplicação de
pelo escalar
. Ou seja,
Aqui estou usando a propriedade natural de que
é um escalar e a multiplicação escalar por
é bem definida. Essa é uma definição simples: colocar o sinal menos na frente equivale a multiplicar por
.
Passo 3
Lembrar duas propriedades algébricas que usaremos:
- A multiplicação é associativa, então para escalares e elementos
vale
quando
é escalar (isto vale para números e para matrizes, com a interpretação usual).
2. O produto de escalares pelo próprio
é
2. O produto de escalares
Com essas duas propriedades conseguimos manipular produtos com fatores
.
Passo 4
Agora calcular explicitamente
. Começamos pela definição:
Substituindo
por
obtemos
Usando associatividade e a regra de que escalares podem ser agrupados com o produto, agrupamos os fatores escalares:
Como
e
, isso fica
Finalmente, usando a hipótese
, concluímos
Passo 5
Um exemplo numérico para intuir: se
então
. Então
e
, ou seja, a mesma
.
Um exemplo matricial simples: tome
Então
Esses exemplos ilustram que o sinal menos “some” ao elevar ao quadrado.]