(d) Mostre que se A é uma raiz quadrada de B, então -A também é uma raiz quadrada de B.

Passo 1

O enunciado diz: seja A uma raiz quadrada de B. Isto significa que foi dada a relação
A^{2}=B.
A tarefa é mostrar que -A também é uma raiz quadrada de B, ou seja, provar que
(-A)^{2}=B.
Informações relevantes (retiradas do enunciado): temos A^{2}=B. Não foram fornecidos mais dados; portanto a demonstração deve usar apenas as propriedades algébricas básicas (multiplicação e o papel do escalar -1).

Passo 2

Entender o que significa -A. Para números e para matrizes (ou, em geral, elementos de um anel com multiplicação por escalares) o símbolo -A representa a multiplicação de A pelo escalar -1. Ou seja,
- A = (-1)\,A.
Aqui estou usando a propriedade natural de que -1 é um escalar e a multiplicação escalar por A é bem definida. Essa é uma definição simples: colocar o sinal menos na frente equivale a multiplicar por -1.

Passo 3

Lembrar duas propriedades algébricas que usaremos:
  1. A multiplicação é associativa, então para escalares e elementos X,Y vale
(\alpha X)Y = \alpha (X Y)
quando \alpha é escalar (isto vale para números e para matrizes, com a interpretação usual).
2. O produto de escalares -1 pelo próprio -1 é
(-1)(-1)=1.
Com essas duas propriedades conseguimos manipular produtos com fatores -1.

Passo 4

Agora calcular explicitamente (-A)^{2}. Começamos pela definição:
(-A)^{2}=(-A)(-A).
Substituindo -A por (-1)A obtemos
(-A)^{2} = \bigl((-1)A\bigr)\bigl((-1)A\bigr).
Usando associatividade e a regra de que escalares podem ser agrupados com o produto, agrupamos os fatores escalares:
\bigl((-1)A\bigr)\bigl((-1)A\bigr) = \bigl((-1)(-1)\bigr)\, (A A).
Como (-1)(-1)=1 e A A = A^{2}, isso fica
(-A)^{2} = 1\cdot A^{2} = A^{2}.
Finalmente, usando a hipótese A^{2}=B, concluímos
(-A)^{2} = A^{2} = B.

Passo 5

Um exemplo numérico para intuir: se A=3 então A^{2}=9. Então -A=-3 e (-A)^{2}=(-3)^{2}=9, ou seja, a mesma B.
Um exemplo matricial simples: tome
A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&2\end{pmatrix}, \qquad A^{2}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&4\end{pmatrix}=B.
Então
-A=\begin{pmatrix}-1&0\\[4pt]0&-2\end{pmatrix}, \qquad (-A)^{2}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&4\end{pmatrix}=B.
Esses exemplos ilustram que o sinal menos “some” ao elevar ao quadrado.]

Resposta

(-A)^{2}=B

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