B=\left[\begin{array}{ll} a & 1 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]
admite raizes quadradas.
Passo 1
O enunciado pede: para quais valores reais a a matriz
B=\begin{pmatrix}a & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}
admite raízes quadradas (ou seja, existe matriz real X tal que X^2=B).
Informações dadas:
A matriz B é 2\times2, triangular superior, com entradas a (no posto 1,1), 1 (no posto 1,2), 0 (no posto 2,1) e 1 (no posto 2,2).
Quer-se caracterizar os a\in\mathbb{R} para os quais existe X\in M_{2}(\mathbb{R}) com X^2=B.]
Passo 2
Estratégia concreta (sem formalismo pesado): suponha uma raiz quadrada qualquer X escrita com incógnitas nas entradas. Ou seja, escrevemos
X=\begin{pmatrix}p & q\\[4pt] r & s\end{pmatrix},
onde p,q,r,s\in\mathbb{R} são incógnitas que vamos determinar. A ideia é calcular X^2 em função de p,q,r,s e igualar a B, obtendo um sistema de equações reais para as quatro incógnitas.]
Passo 3
Calculemos X^2\). Multiplicando matrizes:
\[X^2=\begin{pmatrix}p & q\\[4pt] r & s\end{pmatrix} \begin{pmatrix}p & q\\[4pt] r & s\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p^2+q r & p q + q s\\[4pt] r p + s r & r q + s^2 \end{pmatrix}.
Igualando X^2=B obtemos o sistema (uma equação por entrada):
\begin{cases} p^2 + q r = a,\\[4pt] q(p+s)=1,\\[4pt] r(p+s)=0,\\[4pt] r q + s^2 = 1. \end{cases}
Vou explicar cada equação: a primeira vem da entrada (1,1)\], a segunda da entrada \((1,2), a terceira da entrada (2,1) e a quarta da entrada (2,2).]
Passo 4
Analisar as equações centrais q(p+s)=1 e r(p+s)=0.
A equação q(p+s)=1 força que p+s não seja zero, porque se p+s=0 o lado esquerdo seria 0 e não poderia ser 1. Logo
p+s\neq 0.
Dada essa desigualdade, a equação r(p+s)=0 implica necessariamente r=0 (já que o fator p+s não é zero). Portanto
r=0.
Esse é um ponto crucial: não existe solução com p+s=0 porque quebraria q(p+s)=1. Assim qualquer solução deve ter r=0.
Passo 5
Com r=0\) as outras equações simplificam bastante. Substituindo \(r=0\) no sistema obtemos:
\[\begin{cases} p^2 = a,\\[4pt] q(p+s)=1,\\[4pt] s^2 = 1. \end{cases}
Expliquei: a primeira vem de p^2+q r=a\] com \(r=0; a última vem de r q + s^2=1 com r=0.
Da terceira equação temos s=\pm 1. Da primeira temos p=\pm\sqrt{a}, mas isso só faz sentido em números reais se a\ge 0. Portanto já aparece uma condição necessária:
a\ge 0.
Além disso, a segunda equação dá q=\dfrac{1}{p+s}, que é bem definida porque já sabemos p+s\neq 0.
Resumo parcial: qualquer raiz quadrada real de B deve satisfazer r=0, s=\pm1, p^2=a e q=1/(p+s) com a condição adicional p+s\neq0. Em particular, para existir solução real precisamos ter p real, isto é, a\ge 0.]
Passo 6
Mostrar que a condição a\ge 0 é também suficiente (ou seja, construímos explicitamente uma raiz para todo a\ge 0).
Se a\ge 0, escolha p=\sqrt{a} (a escolha da raiz positiva é conveniente) e escolha s=1. Então p+s=\sqrt{a}+1>0 (nunca é zero), e podemos definir
Portanto para todo a\ge 0 existe pelo menos uma raiz real de B. (Observação: podia-se também escolher p=-\sqrt{a} e s=-1 desde que p+s\neq0; isso produz outras possíveis raízes quando não há degeneração.)]
Passo 7
Concluir e sintetizar os casos possíveis (para fixar bem na cabeça):
Necessidade: de qualquer solução real segue r=0 e p^2=a, portanto a\ge 0.
Suficiência: para todo a\ge 0 a matriz construída em Passo 6 é uma raiz quadrada de B.
Forma geral das soluções reais encontrada: r=0,\\ s=\pm1,\\ p=\pm\sqrt{a} com a condição p+s\neq0 e q=1/(p+s). Isso mostra que quando a>0 normalmente há várias raízes (escolhas de sinais) exceto quando algum somatório se anula; quando a=0 a construção dada também funciona.