d/y = e^(x+y)

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Precisamos resolver a equação diferencial . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, especificamente de equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis y e x. Podemos escrever como , então temos:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis colocando todos os termos com y de um lado e os com x do outro:

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. Aplique a integral em cada lado:

Passo 5

Resolvendo as integrais:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:

Passo 6

Igualando as integrais e combinando as constantes:

Passo 7

Agora, vamos resolver para y. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:

Passo 8

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados para isolar y:

Passo 9

Multiplicando ambos os lados por -1 para obter y:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde C é a constante de integração.

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