dy/dx = e^(3x - 2y)
Resp. y = ln(raiz(C + (2/3) * e^(3 * x)))

Passo 1

Vamos começar resumindo o que você me enviou. A questão pede para resolver a equação diferencial . O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais, mais especificamente equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, observe que a equação pode ser reorganizada para separar as variáveis e . A ideia é colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. Para isso, vamos reescrever a equação como:
Isso nos ajuda a identificar que podemos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por e dividindo por :

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A integração nos ajudará a encontrar uma relação entre e . Vamos integrar:
A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é . Portanto:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos resolver para :
Podemos simplificar a constante para uma nova constante , já que é arbitrária:

Passo 5

Agora, para isolar , vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados da equação. Primeiro, reescrevemos a equação como:
Tirando o logaritmo natural:

Passo 6

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados por 2:
Podemos escrever isso de forma equivalente como:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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