dy/dx = (-2x + y)^2 -
7, y(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial:
E uma condição inicial: . Vamos resolver essa equação passo a passo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituições em equações diferenciais e integração de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação usando uma substituição. Vamos definir . Isso ajuda a eliminar o termo da equação original.
Então:
Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 3

Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando dentro do parêntese:
Então:
Isolando :

Passo 4

Agora temos uma equação diferencial separável:
Podemos separar as variáveis e :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo envolve uma fração racional, que podemos resolver por frações parciais:
Sabemos que:
Aqui, , então:

Passo 6

Vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 6:
Onde . Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma constante.

Passo 7

Podemos resolver para agora:
Resolvendo para :

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 9

Agora usamos a condição inicial para encontrar :

Passo 10

Substituindo na expressão de :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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