Dada f(x)=x^{3}+3 x^{2}-5, verifique que as condições para validade do teorema do valor médio estão satisfeitas para \mathrm{a}=-1 \mathrm{e} \mathrm{b}=2. Encontre todos os números \alpha, \alpha \in]-1,2\left[\right., tal que f^{\prime}(\alpha)=\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=x^{3}+3x^{2}-5
no intervalo [-1,2] e pede duas coisas:
  1. Verificar as condições do Teorema do Valor Médio (continuidade em [-1,2] e diferenciabilidade em (-1,2)).
  2. Encontrar todos os pontos \alpha\in(-1,2) tais que
f'(\alpha)=\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}.

Passo 2

Como f é um polinômio, ela é contínua em todo \mathbb{R} (logo em [-1,2]) e derivável em todo \mathbb{R} (logo em (-1,2)). Portanto, as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas.

Passo 3

Calculamos os valores de f em x=2 e x=-1:
f(2)=2^{3}+3\cdot2^{2}-5=8+12-5=15,
f(-1)=(-1)^{3}+3\cdot(-1)^{2}-5=-1+3-5=-3.
Logo, a taxa média é
\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}=\frac{15-(-3)}{3}=\frac{18}{3}=6.

Passo 4

Obtemos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+3x^{2}-5\bigr) =3x^{2}+6x.

Passo 5

Para achar \alpha tal que f'(\alpha)=6, resolvemos
3\alpha^{2}+6\alpha=6 \quad\Longrightarrow\quad \alpha^{2}+2\alpha-2=0.
Usando a fórmula de Bhaskara,
\alpha=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot1\cdot(-2)}}{2} =\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2} =\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2} =-1\pm\sqrt{3}.

Passo 6

As soluções são \alpha_{1}=-1+\sqrt{3} e \alpha_{2}=-1-\sqrt{3}. Como -1-\sqrt{3}<-1, só -1< -1+\sqrt{3}<2. Portanto, o único valor em (-1,2) é
\alpha=-1+\sqrt{3}.

Resposta

\displaystyle \alpha=-1+\sqrt{3}.

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