. Dada f(x)=4 x^{3}-9 x^{2}+5 x, verifique se estão satisfeitas as condições para validade do teorema de Rolle em cada um dos seguintes intervalos: [0,1], \left[1, \frac{5}{2}\right] e \left[0, \frac{5}{2}\right]. Determine um número \alpha em cada um desses intervalos de modo que f^{\prime}(\alpha)=0.

Passo 1

O enunciado dá f(x)=4x^{3}-9x^{2}+5x e pede para, em cada um dos intervalos [0,1], \bigl[1,\tfrac52\bigr] e \bigl[0,\tfrac52\bigr]:
– verificar se as hipóteses do teorema de Rolle (continuidade em [a,b], diferenciabilidade em (a,b) e f(a)=f(b)) estão satisfeitas;
– encontrar um \alpha nesse intervalo tal que f'(\alpha)=0.

Passo 2

Como f é polinomial, ela é contínua em toda reta e diferenciável em toda reta. Logo, a continuidade e a diferenciabilidade estão garantidas em qualquer intervalo.

Passo 3

Calculemos os valores nos extremos:
f(0)=4\cdot0^{3}-9\cdot0^{2}+5\cdot0=0,
f(1)=4\cdot1^{3}-9\cdot1^{2}+5\cdot1=4-9+5=0,
f\bigl(\tfrac52\bigr) =4\Bigl(\tfrac{5}{2}\Bigr)^{3}-9\Bigl(\tfrac{5}{2}\Bigr)^{2}+5\Bigl(\tfrac{5}{2}\Bigr) = \tfrac{500}{8}-\tfrac{225}{4}+\tfrac{25}{2} =62{,}5 -56{,}25 +12{,}5=18{,}75\neq0.
Portanto:
– em [0,1] temos f(0)=f(1), então o teorema de Rolle vale;
– em \bigl[1,\tfrac52\bigr] e em \bigl[0,\tfrac52\bigr] não vale, pois f(1)\neq f(\tfrac52).

Passo 4

Calculemos f'(x) e resolvamos f'(x)=0:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-9x^{2}+5x\bigr) =12x^{2}-18x+5.
A equação 12x^{2}-18x+5=0 tem discriminante
\Delta =(-18)^{2}-4\cdot12\cdot5=324-240=84,
logo as raízes são
x=\frac{18\pm\sqrt{84}}{24} =\frac{9\pm\sqrt{21}}{12}.

Passo 5

Numericamente,
\frac{9-\sqrt{21}}{12}\approx0{,}368\quad\text{e}\quad \frac{9+\sqrt{21}}{12}\approx1{,}132.
Assim:
– no intervalo (0,1) aparece \alpha_{1}=\dfrac{9-\sqrt{21}}{12};
– em \bigl(1,\tfrac52\bigr) aparece \alpha_{2}=\dfrac{9+\sqrt{21}}{12};
– em \bigl(0,\tfrac52\bigr) ambos os valores estão no intervalo, mas basta escolher um, por exemplo \dfrac{9-\sqrt{21}}{12}.

Resposta

Em [0,1]: o teorema de Rolle vale e um ponto crítico é
\alpha=\frac{9-\sqrt{21}}{12}.
Em \bigl[1,\tfrac52\bigr]: o teorema de Rolle não vale, mas
\alpha=\frac{9+\sqrt{21}}{12}
satisfaz f'(\alpha)=0.
Em \bigl[0,\tfrac52\bigr]: o teorema de Rolle não vale, mas por exemplo
\alpha=\frac{9-\sqrt{21}}{12}
satisfaz f'(\alpha)=0.

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