. Dada
, verifique se estão satisfeitas as condições para validade do teorema de Rolle em cada um dos seguintes intervalos:
,
e
. Determine um número
em cada um desses intervalos de modo que
.
Passo 1
O enunciado dá
e pede para, em cada um dos intervalos
,
e
:
– verificar se as hipóteses do teorema de Rolle (continuidade em , diferenciabilidade em
e
) estão satisfeitas;
– encontrar um nesse intervalo tal que
.
– verificar se as hipóteses do teorema de Rolle (continuidade em
– encontrar um
Passo 2
Como
é polinomial, ela é contínua em toda reta e diferenciável em toda reta. Logo, a continuidade e a diferenciabilidade estão garantidas em qualquer intervalo.
Passo 3
Calculemos os valores nos extremos:
Portanto:
– em temos
, então o teorema de Rolle vale;
– em e em
não vale, pois
.
– em
– em
Passo 4
Calculemos
e resolvamos
:
A equação
tem discriminante
logo as raízes são
Passo 5
Numericamente,
Assim:
– no intervalo aparece
;
– em aparece
;
– em ambos os valores estão no intervalo, mas basta escolher um, por exemplo
.
– no intervalo
– em
– em
Resposta
Em
: o teorema de Rolle vale e um ponto crítico é
Em
: o teorema de Rolle não vale, mas
satisfaz
.
Em
: o teorema de Rolle não vale, mas por exemplo
satisfaz
.