Determine os extremantes das funções f abaixo.
f(x)=-x^{2}-5 x-4
f(x)=2 x^{2}-8 x+11
f(x)=x^{3}-27 x+1
f(x)=-x^{3}+6 x^{2}-12 x+8

Passo 1

O enunciado pede determinar os pontos extremantes (máximos e mínimos) de quatro funções. Para isso, vamos usar a primeira derivada \,f'(x)\, para achar os pontos críticos e o teste da segunda derivada \,f''(x)\, para classificar cada ponto. No caso das funções quadráticas, podemos também usar a fórmula do vértice
x = -\frac{b}{2a}
para encontrar diretamente o extremo.

Passo 2

Para f(x) = -x^{2} - 5x - 4:
Calculamos a derivada
f'(x) = -2x - 5,
e achamos o ponto crítico
f'(x)=0 \;\Longrightarrow\; -2x - 5 = 0 \;\Longrightarrow\; x = -\tfrac{5}{2}.
A segunda derivada é
f''(x) = -2 < 0,
logo temos um máximo local em x = -\tfrac{5}{2}. O valor da função nesse ponto é
f\bigl(-\tfrac{5}{2}\bigr) = -\bigl(-\tfrac{5}{2}\bigr)^{2} - 5\bigl(-\tfrac{5}{2}\bigr) - 4 = -\tfrac{25}{4} + \tfrac{25}{2} - 4 = \tfrac{9}{4}.

Passo 3

Para f(x) = 2x^{2} - 8x + 11:
A derivada é
f'(x) = 4x - 8,
de onde
f'(x)=0 \;\Longrightarrow\; 4x - 8 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 2.
A segunda derivada é
f''(x) = 4 > 0,
portanto temos um mínimo local em x = 2. O valor da função nesse ponto é
f(2) = 2\cdot2^{2} - 8\cdot2 + 11 = 3.

Passo 4

Para f(x) = x^{3} - 27x + 1:
Calculamos
f'(x) = 3x^{2} - 27 = 3(x^{2} - 9),
de onde os pontos críticos são
x = \pm 3.
A segunda derivada é
f''(x) = 6x.
Em x = -3, f''(-3) = -18 < 0, logo máximo local. Em x = 3, f''(3) = 18 > 0, logo mínimo local. Os valores são
f(-3) = (-3)^{3} - 27(-3) + 1 = -27 + 81 + 1 = 55,
f(3) = 3^{3} - 27\cdot3 + 1 = 27 - 81 + 1 = -53.

Passo 5

Para f(x) = -x^{3} + 6x^{2} - 12x + 8:
A derivada é
f'(x) = -3x^{2} + 12x - 12 = -3(x - 2)^{2}.
Temos f'(x)=0 só em x = 2, mas como (x - 2)^{2}\ge0 para todo x, f'(x) não muda de sinal (é sempre \le0), portanto não há extremos — trata-se de um ponto de inflexão com tangente horizontal em x=2.

Resposta

f(x)=-x^{2}-5x-4: máximo em \bigl(-\tfrac{5}{2},\,\tfrac{9}{4}\bigr) f(x)=2x^{2}-8x+11: mínimo em \bigl(2,\,3\bigr) f(x)=x^{3}-27x+1: máximo local em \bigl(-3,\,55\bigr) e mínimo local em \bigl(3,\,-53\bigr) f(x)=-x^{3}+6x^{2}-12x+8: sem extremos

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