A equação de filtração a pressão constante a 38,7 psia é t / V=6,10 \times 10^{-5} V+0,01, em que t está em segundos, V em litros. A resistência específica da torta é independente da pressão. Caso a filtração venha a ser realizada a uma vazão constante de 10 litros/s, qual o tempo necessário para que a diferença de pressão alcance 50 psia?
R. t=3,26 \mathrm{~min}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • A equação de filtração, medida a pressão constante de \,38,7\\ \text{psia}\,, é
\frac{t}{V}=6,10\times10^{-5}\,V+0,01,
em que t está em segundos e V em litros. (Peguei esses números do enunciado.)
  • Diz-se que a resistência específica da torta é independente da pressão.
  • A filtração vai ser feita agora a vazão constante Q=10\\ \text{L/s}.
  • Pergunta: qual o tempo necessário para que a diferença de pressão alcance \,50\\ \text{psia}?

Passo 2

Entendendo a física e a forma geral da equação (aula rápida e prática).
  • Para uma filtração por batelada a pressão constante, existe uma forma clássica (equação de Ruth ou de Kozeny/Burger em filtro prensa simplificado) que pode ser escrita como
\frac{t}{V}=\frac{K_1}{\Delta P}\,V+\frac{K_2}{\Delta P},
onde:
  • t é o tempo de filtração (s);
  • V é o volume filtrado (L);
  • \Delta P é a diferença de pressão aplicada (psia);
  • K_1 e K_2 são constantes que dependem de propriedades do fluido, da torta, da área do filtro, etc.
  • O ponto importante: ambos os termos do lado direito são proporcionais a 1/\Delta P. Portanto, se a mesma experiência é feita com outra \Delta P, a curva \frac{t}{V} versus V só é escalada por um fator \propto 1/\Delta P.
  • Assim, se foi medido que a \Delta P_0=38,7\\ \text{psia} vale
\frac{t}{V}=k_0 V+b_0
com k_0=6,10\times10^{-5} e b_0=0,01, então para uma nova \Delta P vale
\frac{t}{V}=\frac{\Delta P_0}{\Delta P}\,\bigl(k_0 V+b_0\bigr).
Expliquei por que aparece o fator \dfrac{\Delta P_0}{\Delta P}: porque os termos originais são inversamente proporcionais a \Delta P.

Passo 3

Aplicando ao caso numérico com \Delta P_0=38,7\\ \text{psia} e \Delta P=50\\ \text{psia}.
  • Calcular o fator de escala
s=\frac{\Delta P_0}{\Delta P}=\frac{38,7}{50}=0,774.
  • Portanto a equação ajustada para \Delta P=50\\ \text{psia} é
\frac{t}{V}=0,774\left(6,10\times10^{-5}\,V+0,01\right).

Passo 4

Usar que a filtração é feita a vazão constante Q=10\\ \text{L/s}.
  • Quando a vazão é constante e igual a Q, tem-se V=Q\,t. Logo
\frac{t}{V}=\frac{t}{Q\,t}=\frac{1}{Q}.
  • Substituindo \dfrac{t}{V}=\dfrac{1}{Q} na equação ajustada obtemos uma equação para V:
\frac{1}{Q}=0,774\left(6,10\times10^{-5}\,V+0,01\right).

Passo 5

Resolver a equação para V numericamente, passo a passo.
  • Primeiro calcule cada termo escalado:
0,774\times6,10\times10^{-5}=4,7214\times10^{-5},
0,774\times0,01=0,00774.
  • Como Q=10\\ \text{L/s}, tem \dfrac{1}{Q}=0,1\\ \text{s/L}. Então
0,1=(4,7214\times10^{-5})\,V+0,00774.
  • Isolando V:
(4,7214\times10^{-5})\,V=0,1-0,00774=0,09226,
V=\frac{0,09226}{4,7214\times10^{-5}}\approx1954\\ \text{L}.

Passo 6

Encontrar o tempo t a partir de V e Q.
  • Como t=V/Q:
t=\frac{1954\\ \text{L}}{10\\ \text{L/s}}=195,4\\ \text{s}.
  • Converter para minutos:
t=\frac{195,4}{60}\\ \text{min}\approx3,2567\\ \text{min}\approx3,26\\ \text{min}.

Resposta

t=3,26\\ \mathrm{min}

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