Dada a base formada pelos vetores \vec{u}=(1,-2), \vec{v}=(2,0). Determinar a_{1} e a_{2} tais que \vec{w}=a_{1} \vec{u}+ a_{2} \vec{v}, sendo \vec{w}=(-4,-4). (Resp. a1=2 e a2= -3)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo retirado do enunciado):
  • Vetores da base: \vec{u}=(1,-2) e \vec{v}=(2,0).
  • Vetor que queremos escrever como combinação linear: \vec{w}=(-4,-4).
  • O enunciado pede: determinar os escalares a_{1} e a_{2} tais que
\vec{w}=a_{1}\vec{u}+a_{2}\vec{v}.

Passo 2

Transformar a igualdade vetorial em um sistema de equações nas componentes. Igualdade de vetores significa que as componentes correspondentes são iguais. Escrevendo componente a componente:
(-4,-4)=a_{1}(1,-2)+a_{2}(2,0).
Isso gera duas equações (uma para a componente x, outra para a componente y):
\begin{cases} a_{1}\cdot 1 + a_{2}\cdot 2 = -4,\\[4pt] a_{1}\cdot(-2) + a_{2}\cdot 0 = -4. \end{cases}]

Passo 3

Reescrever o sistema de forma simples:
\begin{cases} a_{1} + 2a_{2} = -4,\\[4pt] -2a_{1} = -4. \end{cases}
Explico: na segunda equação apareceu a_{2}\cdot 0, que some, por isso só ficou -2a_{1}=-4.]

Passo 4

Resolver a equação mais simples primeiro (substituição/eliminações fáceis). Da segunda equação:
-2a_{1}=-4 \quad\Rightarrow\quad a_{1}=\frac{-4}{-2}=2.
Pequena explicação: divide-se ambos os lados por -2 para isolar a_{1}.

Passo 5

Usar a_{1}=2 na primeira equação para encontrar a_{2}. Substituindo:
2 + 2a_{2} = -4.
Isolando a_{2}:
2a_{2} = -4-2 = -6 \quad\Rightarrow\quad a_{2}=\frac{-6}{2}=-3.

Passo 6

Fazer a verificação final (sempre bom checar em prova): calcular a_{1}\vec{u}+a_{2}\vec{v} com os valores obtidos e ver se dá \vec{w}.
2\vec{u}+(-3)\vec{v}=2(1,-2)-3(2,0)=(2,-4)+(-6,0)=(-4,-4),
que é exatamente \vec{w}. Logo os valores estão corretos.

Passo 7

Comentário didático e dica rápida para prova: aqui usamos o método mais direto — escrever as igualdades por componente e resolver o sistema linear resultante por substituição — porque é o mais simples para duas equações. Alternativa: poderia-se usar regra de Cramer ou inverter a matriz 2\times2, mas para dois vetores é quase sempre mais rápido fazer a eliminação/substituição como fizemos.

Resposta

a_{1}=2
a_{2}=-3

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