Dada a base formada pelos vetores
. Determinar
e
tais que
, sendo
. (Resp. a1=2 e a2= -3)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo retirado do enunciado):
- Vetores da base:
e . - Vetor que queremos escrever como combinação linear:
. - O enunciado pede: determinar os escalares
e tais que
Passo 2
Transformar a igualdade vetorial em um sistema de equações nas componentes. Igualdade de vetores significa que as componentes correspondentes são iguais. Escrevendo componente a componente:
Isso gera duas equações (uma para a componente
, outra para a componente
):
Passo 3
Reescrever o sistema de forma simples:
Explico: na segunda equação apareceu
, que some, por isso só ficou
.]
Passo 4
Resolver a equação mais simples primeiro (substituição/eliminações fáceis). Da segunda equação:
Pequena explicação: divide-se ambos os lados por
para isolar
.
Passo 5
Usar
na primeira equação para encontrar
. Substituindo:
Isolando
:
Passo 6
Fazer a verificação final (sempre bom checar em prova): calcular
com os valores obtidos e ver se dá
.
que é exatamente
. Logo os valores estão corretos.
Passo 7
Comentário didático e dica rápida para prova: aqui usamos o método mais direto — escrever as igualdades por componente e resolver o sistema linear resultante por substituição — porque é o mais simples para duas equações. Alternativa: poderia-se usar regra de Cramer ou inverter a matriz
, mas para dois vetores é quase sempre mais rápido fazer a eliminação/substituição como fizemos.