Sendo
a base canônica do
, determinar as coordenadas dos vetores
em relação a esta base. (R:
Passo 1
Liste claro do que o enunciado nos dá e o que pede:\n
- Temos a base
. Esses são os vetores da base, que chamaremos de e .\n - Temos os vetores
e .\n
O enunciado pede: determinar as coordenadas dee de em relação à base . Ou seja, encontrar os escalares que escrevem cada como combinação linear de e .
Passo 2
Definição e ideia prática (passo-a-passo bem didático):\n
- Dizemos que
são as coordenadas do vetor em relação à base se vale\n \n - Aqui
e . Se escrevemos , então comparar componentes dá\n \n - Ou seja, para a base canônica
os coeficientes e são exatamente as componentes e do vetor . Mas vamos fazer o procedimento passo a passo como se fosse uma base qualquer (para aprender a mecânica).
Passo 3
Aplicando a definição a
:\n
- Procuramos escalares
e tais que\n \n - Escrevendo tudo em coordenadas:\n
\n - Agora igualamos componente a componente:
(componente ) e (componente ).
Passo 4
Interpretação do resultado para
e pequena explicação intuitiva:\n
- Os coeficientes
e são as coordenadas de na base . Encontramos e .\n - Intuição rápida: na base padrão
indica quanto do eixo e quanto do eixo estão presentes — então o próprio par já é a coordenada na base canônica.
Passo 5
Aplicando a definição a
:\n
- Procuramos escalares
e tais que\n \n - Escrevendo em coordenadas:\n
\n - Igualando componente a componente:
e .
Passo 6
Comentário final e reforço (como usar isso na prova):\n
- Procedimento geral para qualquer base
em : escrever , escrever as igualdades de componentes e resolver para . No caso da base canônica isso é imediato porque e “selecionam” diretamente as componentes.\n - Fica a dica: na prova, sempre mostre o passo de igualar componentes — é curto e evita perda de pontos.