Sendo B=\{(1,0),(0,1)\} a base canônica do R^{2}, determinar as coordenadas dos vetores v_{1}=(1,-3), v_{2}=(-2,1 / 3) em relação a esta base. (R: \left.v_{1}:(x=1, y=-3) ; v_{2}:(x=-2, y=1 / 3)\right)

Passo 1

Liste claro do que o enunciado nos dá e o que pede:\n
  • Temos a base B=\{(1,0),(0,1)\}. Esses são os vetores da base, que chamaremos de b_{1}=(1,0) e b_{2}=(0,1).\n
  • Temos os vetores v_{1}=(1,-3) e v_{2}=(-2,\tfrac{1}{3}).\n
    O enunciado pede: determinar as coordenadas de v_{1} e de v_{2} em relação à base B. Ou seja, encontrar os escalares que escrevem cada v como combinação linear de b_{1} e b_{2}.

Passo 2

Definição e ideia prática (passo-a-passo bem didático):\n
  • Dizemos que (\alpha,\beta) são as coordenadas do vetor v em relação à base B se vale\n v=\alpha b_{1}+\beta b_{2}.\n
  • Aqui b_{1}=(1,0) e b_{2}=(0,1). Se escrevemos v=(x,y), então comparar componentes dá\n (x,y)=(\alpha\cdot 1+\beta\cdot 0,\;\alpha\cdot 0+\beta\cdot 1)=(\alpha,\beta).\n
  • Ou seja, para a base canônica B os coeficientes \alpha e \beta são exatamente as componentes x e y do vetor v. Mas vamos fazer o procedimento passo a passo como se fosse uma base qualquer (para aprender a mecânica).

Passo 3

Aplicando a definição a v_{1}:\n
  • Procuramos escalares \alpha_{1} e \beta_{1} tais que\n v_{1}=\alpha_{1}b_{1}+\beta_{1}b_{2}.\n
  • Escrevendo tudo em coordenadas:\n (1,-3)=\alpha_{1}(1,0)+\beta_{1}(0,1)=(\alpha_{1},\beta_{1}).\n
  • Agora igualamos componente a componente: \alpha_{1}=1 (componente x) e \beta_{1}=-3 (componente y).

Passo 4

Interpretação do resultado para v_{1} e pequena explicação intuitiva:\n
  • Os coeficientes \alpha_{1} e \beta_{1} são as coordenadas de v_{1} na base B. Encontramos \alpha_{1}=1 e \beta_{1}=-3.\n
  • Intuição rápida: na base padrão (1,0) indica quanto do eixo x e (0,1) quanto do eixo y estão presentes — então o próprio par (x,y) já é a coordenada na base canônica.

Passo 5

Aplicando a definição a v_{2}:\n
  • Procuramos escalares \alpha_{2} e \beta_{2} tais que\n v_{2}=\alpha_{2}b_{1}+\beta_{2}b_{2}.\n
  • Escrevendo em coordenadas:\n \bigl(-2,\tfrac{1}{3}\bigr)=\alpha_{2}(1,0)+\beta_{2}(0,1)=(\alpha_{2},\beta_{2}).\n
  • Igualando componente a componente: \alpha_{2}=-2 e \beta_{2}=\tfrac{1}{3}.

Passo 6

Comentário final e reforço (como usar isso na prova):\n
  • Procedimento geral para qualquer base B=\{b_{1},b_{2}\} em \mathbb{R}^{2}: escrever v=\alpha b_{1}+\beta b_{2}, escrever as igualdades de componentes e resolver para \alpha,\beta. No caso da base canônica isso é imediato porque b_{1} e b_{2} “selecionam” diretamente as componentes.\n
  • Fica a dica: na prova, sempre mostre o passo de igualar componentes — é curto e evita perda de pontos.

Resposta

v_{1}:(x=1,\\ y=-3)
v_{2}:(x=-2,\\ y=\tfrac{1}{3})

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