Seja
e
. Determine
.
Seja \vec{r}(t)=\left(t^{2}, \sin t, e^{t}\right) e f(x, y, z)=x y z. Determine \frac{d}{d t}[f(\vec{r}(t))].

Passo 1

O enunciado pede a derivada em t da função composta f(\vec{r}(t)), onde \vec{r}(t)=(t^2,\sin t,e^t) e f(x,y,z)=xyz. O conteúdo é a regra da cadeia para funções de várias variáveis: \frac{d}{dt}[f(\vec{r}(t))]=\nabla f(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t).

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
\nabla f(x,y,z)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr) =(yz,\;xz,\;xy).

Passo 3

Derivamos o vetor \vec{r}(t) componente a componente:
\vec{r}\,'(t)=(2t,\;\cos t,\;e^t).

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dt}[f(\vec{r}(t))] =\nabla f\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot \vec{r}\,'(t) =(\underbrace{\sin t\;e^t}_{yz},\;\underbrace{t^2\;e^t}_{xz},\;\underbrace{t^2\sin t}_{xy})\cdot(2t,\cos t,e^t).

Passo 5

Fazendo o produto escalar e simplificando:
\frac{d}{dt}[f(\vec{r}(t))] =2t\sin t\,e^t + t^2 e^t\cos t + t^2\sin t\,e^t =e^t\bigl(2t\sin t + t^2\cos t + t^2\sin t\bigr).

Resposta

\frac{d}{dt}[f(\vec{r}(t))] =e^t\bigl(2t\sin t + t^2\cos t + t^2\sin t\bigr).

Exercícios relacionados