Dada f(x)=4 x^{3}-9 x comprove que as condições (i),(ii) e (iii) das hipóteses do teorema de Rolle estão satisfeitas em cada um dos seguintes intervalos: \left[\frac{-3}{2}, 0\right],\left[0, \frac{3}{2}\right] e \left[\frac{-3}{2}, \frac{3}{2}\right]. Ache então um valor de c em cada um desses intervalos para os quais f^{\prime}\text{(c)}=0.

Passo 1

O enunciado dá f(x)=4x^3-9x e pede para verificar que as hipóteses do teorema de Rolle—(i) continuidade em [a,b], (ii) diferencialidade em (a,b) e (iii) f(a)=f(b)—se cumprem nos intervalos \bigl[-\tfrac32,0\bigr], \bigl[0,\tfrac32\bigr] e \bigl[-\tfrac32,\tfrac32\bigr]. Em seguida, devemos achar para cada intervalo um valor c em que f'\text{(c)}=0.

Passo 2

Como f é um polinômio, ela é contínua em todo \mathbb R (portanto em qualquer intervalo fechado) e diferenciável em todo \mathbb R (logo em qualquer intervalo aberto). Assim, as condições (i) e (ii) já estão garantidas.

Passo 3

Falta verificar f(a)=f(b) em cada intervalo. Calculamos
f\bigl(-\tfrac32\bigr) =4\bigl(-\tfrac32\bigr)^3-9\bigl(-\tfrac32\bigr) =4\bigl(-\tfrac{27}{8}\bigr)+\tfrac{27}{2} =-\tfrac{27}{2}+\tfrac{27}{2} =0,
f(0)=0, \quad f\bigl(\tfrac32\bigr) =4\bigl(\tfrac32\bigr)^3-9\bigl(\tfrac32\bigr) =4\bigl(\tfrac{27}{8}\bigr)-\tfrac{27}{2} =\tfrac{27}{2}-\tfrac{27}{2} =0.
Portanto em todos os três intervalos as extremidades têm o mesmo valor: zero. A condição (iii) do teorema de Rolle está feita.

Passo 4

Derivando f obtemos
f'(x)=12x^2-9.
Para anular a derivada, resolvemos
12x^2-9=0 \quad\Longrightarrow\quad x^2=\tfrac{9}{12}=\tfrac34 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\tfrac{\sqrt3}{2}.

Passo 5

Nos intervalos abertos onde se aplica Rolle temos: em \bigl(-\tfrac32,0\bigr) o único valor que satisfaz f'\text{(c)}=0 é
c=-\tfrac{\sqrt3}{2};
em \bigl(0,\tfrac32\bigr) o único valor é
c=+\tfrac{\sqrt3}{2};
e em \bigl(-\tfrac32,\tfrac32\bigr) ambos
c=-\tfrac{\sqrt3}{2} \quad\text{e}\quad c=+\tfrac{\sqrt3}{2}
pertencem ao intervalo aberto.

Resposta

Em \left[-\tfrac32,0\right] escolhemos c=-\tfrac{\sqrt3}{2}.
Em \left[0,\tfrac32\right] escolhemos c=+\tfrac{\sqrt3}{2}.
Em \left[-\tfrac32,\tfrac32\right] os pontos c=\pm\tfrac{\sqrt3}{2} satisfazem f'\text{(c)}=0.

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