Dada
comprove que as condições (i),(ii) e (iii) das hipóteses do teorema de Rolle estão satisfeitas em cada um dos seguintes intervalos:
e
. Ache então um valor de c em cada um desses intervalos para os quais
.
Passo 1
O enunciado dá
e pede para verificar que as hipóteses do teorema de Rolle—(i) continuidade em
, (ii) diferencialidade em
e (iii)
—se cumprem nos intervalos
,
e
. Em seguida, devemos achar para cada intervalo um valor
em que
.
Passo 2
Como
é um polinômio, ela é contínua em todo
(portanto em qualquer intervalo fechado) e diferenciável em todo
(logo em qualquer intervalo aberto). Assim, as condições (i) e (ii) já estão garantidas.
Passo 3
Falta verificar
em cada intervalo. Calculamos
Portanto em todos os três intervalos as extremidades têm o mesmo valor: zero. A condição (iii) do teorema de Rolle está feita.
Passo 4
Derivando
obtemos
Para anular a derivada, resolvemos
Passo 5
Nos intervalos abertos onde se aplica Rolle temos: em
o único valor que satisfaz
é
em
o único valor é
e em
ambos
pertencem ao intervalo aberto.
Resposta
Em
escolhemos
.
Em escolhemos
.
Em os pontos
satisfazem
.
Em
Em