Resolva os seguintes problemas:
(a) Se um objeto é jogado para cima a 64 pés por segundo de uma altura de 20 pés, sua altura S depois de x segundos é dado por
S(x)=20+64 x-16 x^{2}
i. Qual a velocidade média nos dois primeiros segundos depois de a bola ser lançada?
ii. Qual a velocidade exatamente em t=2 ?
(b) Coloca-se uma late de refrigerante em uma geladeira. A temperatura H, em Fahrenheit \left({ }^{\circ} \mathrm{F}\right), da lata em função do tempo t, em horas, é dada por H=40+30 e^{-2 t}
i. Obtenha a taxa segundo a qual a temperatura do refrigerante está variando ( { }^{\circ} \mathrm{F} / hora ).
ii. Qual o sinal de d H / d t ? Justifique a sua resposta.
iii. Em que instante t \geq 0 o módulo de d H / d t é o maior possível? Explique sua resposta em termos do refrigerante.
(c) O lado de um cubo mede 25 cm , com erro possível de \pm 1 \mathrm{~cm}.
i. Use diferenciais para estimar o erro no volume calculado.
ii. Estime os erros percentuais no lado e no volume.
(d) O alcance R de um projétil é
R=\frac{v_{0}^{2}}{32} \operatorname{sen}(2 \theta)
onde v_{0} é a velocidade inicial em pés por segundo e \theta é o ângulo de elevação com a horizontal.
i. A aceleração da gravidade g equivale a 32 . Se v_{0}=2.200 pés por segundo e \theta varia de 10^{\circ} para 11^{\circ}, use diferenciais para estimar a variação no alcance.
ii. A aceleração da gravidade equivale a g. Ache o ângulo \theta tal que o alcance seja máximo.
(e) Um avião segue uma rota que passa diretamente sobre uma estação de rastreamento por radar. Considere s como sendo a distância (em milhas) do avião até a estação e x a distância horizontal do avião à estação. Sabendo que s decresce a uma taxa de 400 milhas por hora e que o avião está a uma altura de 6 milhas em relação ao solo e a 10 milhas em relação a estação, qual a velocidade do avião?
(f) O lançamento de uma nave espacial está sendo filmado por uma câmera que se encontra no solo. A nave está se elevando na direção vertical e sua função posição é s=50 t^{2}, onde s é medido em pés e t é medido em segundos. A distância da câmera até a plataforma de lançamento é de 2.000 pés. Calcule a taxa de variação do ângulo de elevação da câmera, após 10 segundos do lançamento.
(g) Enche-se um balão esférico a uma taxa de 4,5 pés cúbicos por minuto. Calcule a taxa de variação do raio quando este medir 2 pés.
(h) i. Uma indústria química vende ácido sulfúrico a granel por a \ 100 por unidade. Se o custo de produção total diário em dólares paraçãáóx unidades forC(x)=100.000+$ 50 x+0,0025 x^{2} e se a capacidade de produção diária for de, no máximo, 7.000
unidades, quantas unidades de ácido sulfúrico devem ser fabricadas e vendidas diariamente para maximizar o lucro?
ii. Beneficiaria ao industrial expandir a capacidade de produção diária?

Passo 1

O enunciado reúne vários tópicos de derivadas e diferenciais: velocidade média e instanteânea, taxa de variação exponencial, erros via diferencial, máximos usando derivada, e problemas de taxas relacionadas. Vamos aplicar definição de velocidade média, derivação de funções polinomiais e exponenciais, usar diferenciais dV\approx V'(s)\,ds, resolver otimização com f'(x)=0 e diferenças relacionadas por triângulos e funções trigonométricas.

Passo 2

Para (a)(i), a velocidade média em [0,2] é \r
\frac{S(2)-S(0)}{2-0}\r
com S(x)=20+64x-16x^2. Calculamos\r
S(2)=20+64\cdot2-16\cdot2^2=20+128-64=84, \quad S(0)=20,
logo
\text{vel. média}=\frac{84-20}{2}=32\\ \text{pés/s}.éé

Passo 3

Para (a)(ii), a velocidade instantânea é S'(x). Derivando\r
S'(x)=64-32x,\r
então em t=2:\r
S'(2)=64-32\cdot2=0\\ \text{pés/s}.é

Passo 4

Em (b)(i), dado H(t)=40+30e^{-2t}, aplicamos derivada de exponencial:\r
\frac{dH}{dt}=-60e^{-2t}\quad({}^\circ\!F/\text{h}).\r
Em (b)(ii), como e^{-2t}>0, temos \tfrac{dH}{dt}<0, ou seja, a lata está esfriando. Em (b)(iii), o módulo \bigl|\tfrac{dH}{dt}\bigr|=60e^{-2t} é decrescente em t, logo máximo em t=0; é a maior taxa de esfriamento logo ao entrar na geladeira.

Passo 5

Em (c)(i), com aresta s=25\pm1 cm e volume V=s^3, o diferencial é\r
dV\approx3s^2\,ds=3\cdot25^2\cdot(\pm1)=\pm1875\\ \text{cm}^3.\r
Em (c)(ii), erro percentual no lado é\r
\frac{1}{25}\times100\%=4\%,\r
e no volume\r
\frac{1875}{25^3}\times100\%=\frac{1875}{15625}\times100\%=12\%.

Passo 6

Em (d)(i), R=\frac{v_0^2}{32}\sin(2\theta). Com v_0=2200 pés/s e \theta de 10^\circ para 11^\circ, d\theta=1^\circ=\frac{\pi}{180} rad e\r
dR\approx\frac{v_0^2}{16}\cos(2\theta)\,d\theta =\frac{2200^2}{16}\cos(20^\circ)\,\frac{\pi}{180} \approx4969\\ \text{pés}.é\r
Em (d)(ii), para maximizar R basta \sin(2\theta)=1\Rightarrow2\theta=90^\circ\Rightarrow\theta=45^\circ.

Passo 7

Em (e), o avião forma triângulo com hipotenusa s, base x e altura fixa 6. Como s^2=x^2+6^2, derivamos:\r
2s\,\frac{ds}{dt}=2x\,\frac{dx}{dt} \quad\Rightarrow\quad \frac{dx}{dt}=\frac{s}{x}\,\frac{ds}{dt}.\r
Com s=10, ds/dt=-400 mph e x=\sqrt{10^2-6^2}=8, vem\r
\frac{dx}{dt}=\frac{10\cdot(-400)}{8}=-500\\ \text{mph},\r
o sinal negativo indica que x diminui, isto é, o avião se aproxima a 500 mph.

Passo 8

Em (f), com s=50t^2 vertical e base fixa 2000 pés, \tan\theta=\frac{s}{2000}. Diferenciando:\r
\operatorname{sec}^2\theta\,\frac{d\theta}{dt} =\frac{1}{2000}\,\frac{ds}{dt} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\theta}{dt} =\frac{ds/dt}{2000\,\operatorname{sec}^2\theta}.\r
Em t=10, s=50\cdot10^2=5000, ds/dt=100t=1000 pés/s e \operatorname{sec}^2\theta=1+\tan^2\theta=1+(5000/2000)^2=7{,}25. Logo\r
\frac{d\theta}{dt} =\frac{1000}{2000\cdot7.25}\approx0{,}069\\ \text{rad/s}.

Passo 9

Em (g), V=\tfrac{4}{3}\pi r^3 e dV/dt=4,5. Pelo diferencial\r
dV=4\pi r^2\,dr \quad\Rightarrow\quad \frac{dr}{dt}=\frac{dV/dt}{4\pi r^2} =\frac{4{,}5}{4\pi\cdot2^2} =\frac{4{,}5}{16\pi}\approx0{,}0897\\ \text{pés/min}.é

Passo 10

Em (h)(i), receita R=100x, custo C=100000+50x+0,0025x^2. O lucro é\r
\pi(x)=100x-\bigl(100000+50x+0{,}0025x^2\bigr) =50x-0{,}0025x^2-100000.\r
Derivando e igualando a zero:\r
\pi'(x)=50-0{,}005x=0 \quad\Rightarrow\quad x=10000,\r
mas a capacidade é 7000, logo o máximo viável é x=7000. Em (h)(ii), como o x ótimo sem restrição ( 10000) excede a capacidade, expandir produção beneficiaria o industrial.

Resposta

(a)(i) 32 pés/s. \r
(a)(ii) 0 pés/s. \r
(b)(i) \tfrac{dH}{dt}=-60e^{-2t} \circF/h. \r
(b)(ii) Negativo (a lata esfria). \r
(b)(iii) Máximo em t=0. \r
(c)(i) \pm1875 c m^{3}. \r
(c)(ii) Erro de 4\% no lado e 12\% no volume. \r
(d)(i) \Delta R\approx4969 pés. \r
(d)(ii) \theta=45^\circ. \r
(e) 500 mph em direção à estação. \r
(f) \approx0{,}069 rad/s. \r
(g) \approx0{,}0897 pés/min. \r
(h)(i) 7000 unidades. \r
(h)(ii) Sim, expandir seria vantajoso.

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