Considere a área de um triângulo dada por
, onde
e
são medidas de dois lados e
o ângulo entre eles.
(a) Encontre a aproximação linear para pequenas variações nos lados e no ângulo
(b) Se
aumenta em
e
radianos, qual a variação percentual aproximada na área?
(a) Encontre a aproximação linear para pequenas variações nos lados e no ângulo
(b) Se
Passo 1
O enunciado dá a área de um triângulo como
e pede (a) a aproximação linear para pequenas variações
e (b) a variação percentual aproximada se
,
e
rad. Vamos usar diferenciais parciais para obter a expansão linear de
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Logo a diferencial total é
Passo 3
Para expressar como variação relativa dividimos por
:
Passo 4
Agora substituímos as variações dadas:
.
Resposta
A aproximação linear é
e a variação percentual aproximada na área é