Considere a área de um triângulo dada por A(a, b, \theta)=\frac{1}{2} a b \sin \theta, onde a e b são medidas de dois lados e \theta o ângulo entre eles.
(a) Encontre a aproximação linear para pequenas variações nos lados e no ângulo
(b) Se a aumenta em 2 \%, b \mathrm{em} 1.5 \% e \theta \mathrm{em} 0.05 radianos, qual a variação percentual aproximada na área?

Passo 1

O enunciado dá a área de um triângulo como
A(a,b,\theta)=\frac{1}{2}\,a\,b\,\sin\theta
e pede (a) a aproximação linear para pequenas variações \Delta a,\Delta b,\Delta\theta e (b) a variação percentual aproximada se \Delta a/a=2\%, \Delta b/b=1{,}5\% e \Delta\theta=0{,}05 rad. Vamos usar diferenciais parciais para obter a expansão linear de A.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de A:
\frac{\partial A}{\partial a} =\frac{1}{2}\,b\,\sin\theta, \quad \frac{\partial A}{\partial b} =\frac{1}{2}\,a\,\sin\theta, \quad \frac{\partial A}{\partial \theta} =\frac{1}{2}\,a\,b\,\cos\theta.
Logo a diferencial total é
\mathrm{d}A =\frac{1}{2}\,b\,\sin\theta\,\mathrm{d}a +\frac{1}{2}\,a\,\sin\theta\,\mathrm{d}b +\frac{1}{2}\,a\,b\,\cos\theta\,\mathrm{d}\theta.

Passo 3

Para expressar como variação relativa dividimos por A:
A=\frac{1}{2}ab\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}A}{A} =\frac{\mathrm{d}a}{a}+\frac{\mathrm{d}b}{b} +\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\,\mathrm{d}\theta =\frac{\mathrm{d}a}{a}+\frac{\mathrm{d}b}{b}+\cot\theta\,\mathrm{d}\theta.

Passo 4

Agora substituímos as variações dadas:
\mathrm{d}a/a=0{,}02,\;\mathrm{d}b/b=0{,}015,\;\mathrm{d}\theta=0{,}05.
\frac{\mathrm{d}A}{A} =0{,}02+0{,}015+\cot\theta\,(0{,}05) =0{,}035+0{,}05\,\cot\theta.

Resposta

A aproximação linear é
\Delta A\approx\frac{1}{2}b\sin\theta\,\Delta a+\frac{1}{2}a\sin\theta\,\Delta b+\frac{1}{2}ab\cos\theta\,\Delta\theta
e a variação percentual aproximada na área é
\frac{\Delta A}{A}\times100\%\approx\bigl(0{,}035+0{,}05\,\cot\theta\bigr)\times100\% =3{,}5\%+5\%\cot\theta.

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