(1,0) Dada a definição de derivada:
f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
Encontre a derivada da função f(x)=x^{2}-8 x+9 em um número
(a) 2

Passo 1

O enunciado pede para usar a definição de derivada
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
na função f(x)=x^{2}-8x+9 e, em seguida, avaliar essa derivada no ponto x=2.

Passo 2

Vamos aplicar a definição: primeiro calculamos f(x+h).
f(x+h)=(x+h)^{2}-8(x+h)+9 = x^{2}+2xh+h^{2}-8x-8h+9.
Então o numerador da diferença é
f(x+h)-f(x)=\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}-8x-8h+9\bigr)-\bigl(x^{2}-8x+9\bigr) =2xh+h^{2}-8h.
Dividindo por h e fazendo h\to0, temos
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h-8 \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=\lim_{h\to0}(2x+h-8)=2x-8.

Passo 3

Agora basta avaliar em x=2:
f'(2)=2\cdot2-8=4-8=-4.

Resposta

-4

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