1. Dada a distribuição de frequência:
x_{i} 3 4 5 6 7 8
f_{i} 2 5 12 10 8 3
(a) Soma dos f_{i};
(b) as frequências relativas;
(c) as frequências acumuladas;
(d) as frequências relativas acumuladas.

Passo 1

O enunciado dá a tabela de frequências abaixo e pede quatro coisas. Dados fornecidos:
x_{i} = 3,4,5,6,7,8 e f_{i} = 2,5,12,10,8,3.
As perguntas são:
(a) a soma dos f_{i};
(b) as frequências relativas;
(c) as frequências acumuladas;
(d) as frequências relativas acumuladas.

Passo 2

Vamos calcular a soma dos f_{i}. A soma total (tamanho da amostra), que vou chamar de n, é dada por
n=\sum_{i} f_{i}.
Agora somamos os valores que o enunciado deu:
n=2+5+12+10+8+3.
Fazendo a soma passo a passo: 2+5=7, 7+12=19, 19+10=29, 29+8=37, 37+3=40. Portanto n=40.

Passo 3

Explico o que é frequência relativa. A frequência relativa de uma classe i é a proporção dessa classe dentro do total; é a razão entre a frequência absoluta f_{i} e o total n. A fórmula é
h_{i}=\frac{f_{i}}{n},
onde h_{i} é a frequência relativa da classe i, f_{i} é a frequência absoluta e n é o total. Essa quantidade costuma ser apresentada em forma decimal (por exemplo 0,25 significa 25\%).

Passo 4

Calculamos as frequências relativas de cada x_{i} usando h_{i}=f_{i}/n com n=40.
  • Para x=3: \displaystyle h_{1}=\frac{2}{40}=\frac{1}{20}=0,05.
  • Para x=4: \displaystyle h_{2}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}=0,125.
  • Para x=5: \displaystyle h_{3}=\frac{12}{40}=\frac{3}{10}=0,3.
  • Para x=6: \displaystyle h_{4}=\frac{10}{40}=\frac{1}{4}=0,25.
  • Para x=7: \displaystyle h_{5}=\frac{8}{40}=\frac{1}{5}=0,2.
  • Para x=8: \displaystyle h_{6}=\frac{3}{40}=0,075.
Uma verificação simples: somando as frequências relativas 0,05+0,125+0,3+0,25+0,2+0,075=1,0, ou seja 100\%, como deve acontecer.

Passo 5

Agora explico o que é frequência acumulada. A frequência acumulada F_{i} da classe i é a soma das frequências absolutas das classes até i:
F_{i}=\sum_{k=1}^{i} f_{k}.
Serve para saber quantos observações estão abaixo ou iguais a um certo valor (no caso de dados ordenados por x).

Passo 6

Calculamos as frequências acumuladas passo a passo:
  • F_{1}=f_{1}=2.
  • F_{2}=f_{1}+f_{2}=2+5=7.
  • F_{3}=2+5+12=19.
  • F_{4}=2+5+12+10=29.
  • F_{5}=2+5+12+10+8=37.
  • F_{6}=2+5+12+10+8+3=40.
Ou seja, as frequências acumuladas são 2,7,19,29,37,40.

Passo 7

A frequência relativa acumulada H_{i} é simplesmente a frequência acumulada dividida pelo total:
H_{i}=\frac{F_{i}}{n}.
Ela indica a proporção acumulada até a classe i (por exemplo, H_{3}=0,475 significa 47,5\% até x=5).

Passo 8

Calculamos H_{i}=F_{i}/40 usando as F_{i} do passo anterior:
  • H_{1}=\dfrac{2}{40}=0,05.
  • H_{2}=\dfrac{7}{40}=0,175.
  • H_{3}=\dfrac{19}{40}=0,475.
  • H_{4}=\dfrac{29}{40}=0,725.
  • H_{5}=\dfrac{37}{40}=0,925.
  • H_{6}=\dfrac{40}{40}=1,0.
Note que H_{6}=1,0 significa 100\% do total, como esperado.

Passo 9

Resumo rápido de verificação para ganhar confiança na prova:
  • A soma das f_{i} deu 40.
  • A soma das h_{i} deu 1,0.
  • A última frequência acumulada é 40 e a última frequência relativa acumulada é 1,0.
    Esses check-points mostram que os cálculos estão consistentes.

Resposta

(a) \displaystyle \sum f_{i}=40
(b) frequências relativas:
\;x=3:\;0,05,\;x=4:\;0,125,\;x=5:\;0,3,\;x=6:\;0,25,\;x=7:\;0,2,\;x=8:\;0,075
(c) frequências acumuladas:
\;2,\;7,\;19,\;29,\;37,\;40
(d) frequências relativas acumuladas:
\;0,05,\;0,175,\;0,475,\;0,725,\;0,925,\;1,0

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