Dada a EDO abaixo:
d^2 y(t)d t^2+6 d y(t)d t+8 y(t)=2 d x(t)d t+x(t)
Encontre H(j w).

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: temos uma equação diferencial linear entre entrada d^2 y(t)d t^2 ;+;6,d y(t)d t;+;8,y(t);=;2,d x(t)d t;+;x(t) e saída :
O conteúdo é resposta em frequência de sistemas LTI (sistemas lineares e invariantes no tempo). Para achar , a gente vai usar a Transformada de Fourier e a propriedade de que derivar no tempo vira multiplicar por no domínio da frequência.

Passo 2

Transformada de Fourier na parte da saída (LHS):
  • (jomega)^2,Y(jomega) ;+;6,(jomega),Y(jomega);+;8,Y(jomega) ;=; l[(jomega)^2 +6,jomega+8r],Y(jomega)
Logo, aplicando tudo:

Passo 3

Transformada de Fourier na parte da entrada (RHS):
  • 2,l(jomega,X(jomega)r);+;X(jomega) ;=;(2,jomega+1),X(jomega)
Então:
l[(jomega)^2 +6,jomega+8r],Y(jomega) ;=;(2,jomega+1),X(jomega)
Agora escrevemos a relação total:
H(jomega) =2,jomega+1(jomega)^2 +6,jomega+8
Como , basta dividir:

Resposta

boxedH(jomega)=2,jomega+1(jomega)^2 +6,jomega+8 ;=;2,jomega+1(jomega+2),(jomega+4)

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