Dado o sinal X(j w) :
X(j w)=j w+7(j w)^2+9 j w+20
Dado que x(t) seja a entrada de um sistema, cuja resposta ao impulso é h(t), calcule Y(j w).

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a transformada de Fourier de um sinal de entrada é
X(jomega) = jomega + 7(jomega)^2 + 9,jomega + 20
e esse sinal entra num sistema LTI cuja resposta ao impulso é . A pergunta é: qual é a transformada de Fourier da saída , ou seja, ?
Conteúdo: transformada de Fourier e propriedade de sistemas LTI (multiplicação em frequência). Vamos usar a regra de que, para sistemas LTI, Y(jω) = X(jω)·H(jω).

Passo 2

Teoria envolvida:
  • Transformada de Fourier converte sinais no tempo em funções de frequência.
  • Para um sistema linear e invariante no tempo (LTI), a saída y(t) é a convolução de x(t) com h(t): y(t) = x(t) * h(t)
  • Propriedade fundamental no domínio da frequência: convolução vira multiplicação. Logo Y(jomega) = X(jomega);H(jomega)
Isso significa que, pra achar , basta multiplicar a expressão de pela transformada de Fourier de , que chamamos de .

Passo 3

Vamos expressar direitinho:
Y(jomega) = X(jomega),H(jomega) = jomega + 7(jomega)^2 + 9,jomega + 20;times;H(jomega)
Se quiser, dá pra fatorar o denominador só pra ficar mais claro:
(jomega)^2 + 9,jomega + 20 = (jomega + 4),(jomega + 5)
Então
X(jomega) = jomega + 7(jomega + 4)(jomega + 5),
mas, no fundo, a resposta final continua a mesma multiplicação pela .

Resposta

boxed Y(jomega) ;=; X(jomega),H(jomega) ;=; jomega + 7(jomega)^2 + 9,jomega + 20;;H(jomega)

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