Dado o sinal
:
Dado que
seja a entrada de um sistema, cuja resposta ao impulso é
, calcule
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que a transformada de Fourier de um sinal de entrada é
e esse sinal entra num sistema LTI cuja resposta ao impulso é
. A pergunta é: qual é a transformada de Fourier da saída
, ou seja,
?
Conteúdo: transformada de Fourier e propriedade de sistemas LTI (multiplicação em frequência). Vamos usar a regra de que, para sistemas LTI, Y(jω) = X(jω)·H(jω).
Conteúdo: transformada de Fourier e propriedade de sistemas LTI (multiplicação em frequência). Vamos usar a regra de que, para sistemas LTI, Y(jω) = X(jω)·H(jω).
Passo 2
Teoria envolvida:
- Transformada de Fourier converte sinais no tempo em funções de frequência.
- Para um sistema linear e invariante no tempo (LTI), a saída y(t) é a convolução de x(t) com h(t):
- Propriedade fundamental no domínio da frequência: convolução vira multiplicação. Logo
Isso significa que, pra achar
, basta multiplicar a expressão de
pela transformada de Fourier de
, que chamamos de
.
Passo 3
Vamos expressar direitinho:
Se quiser, dá pra fatorar o denominador só pra ficar mais claro:
Então
mas, no fundo, a resposta final continua a mesma multiplicação pela
.