Dado o sinal X(j w) :
X(j w)=j w+7(j w)^2+9 j w+20
Considerando que a resposta ao impulso h(t) é igual a 3 e^-4 t u(t), determine a resposta em frequência.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é achar a resposta em frequência h(t) = 3e^-4tu(t) de um sistema LTI que tem resposta ao impulso
H(jomega) = integral-infty^+infty h(t),e^-jomega t,dt
Isso faz parte de Transformada de Fourier de sinais e sistemas. Para resolver, vamos usar a definição da Transformada de Fourier da resposta ao impulso:
Como é causal ( “liga” o sinal só para ), vamos precisar calcular uma integral de exponencial decrescente.

Passo 2

Escrevendo a integral de definição:
H(jomega) ;=; integral-infty^infty 3e^-4tu(t),e^-jomega t,dt ;=; 3integral0^infty e^-4te^-jomega t,dt,
porque anula o integrando para .

Passo 3

Juntando as exponenciais dentro da integral:
e^-4te^-jomega t = e^-(4 + jomega),t
Logo
H(jomega) = 3integral0^infty e^-(4 + jomega)t,dt

Passo 4

Agora usamos a fórmula básica de integral de exponencial: para integral0^infty e^-a t,dt = 1a ,
Aqui tem parte real , então a fórmula vale.

Passo 5

Aplicando a fórmula:
integral0^infty e^-(4 + jomega)t,dt = 14 + jomega
Multiplicando pelo fator 3 de fora:
H(jomega) = 3 cdot 14 + jomega = 34 + jomega

Resposta

boxedH(jomega) = 34 + jomega

Exercícios relacionados