Dado o sinal X(j w) :
X(j w)=j w+7(j w)^2+9 j w+20
Apresente a expressão de x(t).

Passo 1

Beleza! O enunciado dá o espectro
X(jomega)=jomega+7(jomega)^2+9,jomega+20
e pede pra gente achar o sinal no tempo .
Conteúdo envolvido: transformada de Fourier e inversa, plus decomposição em frações parciais.
Vamos usar:
1) a propriedade de tabela de pares FT, em especial

2) decompor em termos de .

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador em “s” onde (s)^2 +9s+20 = (s+5)(s+4) Longrightarrow (jomega)^2+9,jomega+20 = (jomega+5)(jomega+4) :

Passo 3

Agora escrevemos
jomega+7(jomega+5)(jomega+4) =Ajomega+5+Bjomega+4
Para achar A = (-5)+7(-5)+4 = 2-1 = -2 e B = (-4)+7(-4)+5 = 31 = 3 , multiplicamos ambos os lados por X(jomega) = -2jomega+5 ;+;3jomega+4 e depois avaliamos em e em :
  • Em :
  • Em :
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Passo 4

Lembrando o par de transformada de Fourier (FT):
e^-atu(t);x<=ftrightarrow F;1a+jomega
Então, por linearidade, cada termo em -2jomega+5 long<=ftrightarrow -2,e^-5tu(t), vira:
3jomega+4 long<=ftrightarrow 3,e^-4tu(t)

Resposta

Juntando os termos, o sinal no tempo é
boxed x(t) ;=;-2,e^-5t,u(t);+;3,e^-4t,u(t)

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