Dada a EDO y^IV + 4 y''' + 4 y'' = x + x^2 e^x cos(3 x) determine:
a) A solução da equação diferencial linear homogênea associada. (Valor=1,0) 114 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a solução da equação diferencial linear homogênea associada à seguinte EDO:
Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares homogêneas de quarta ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que envolve resolver a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma:
a equação característica é:
No nosso caso, temos:
Portanto, a equação característica é:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação característica. Primeiro, podemos fatorar o polinômio:
Isso nos dá duas partes para resolver:

Passo 4

Resolvendo , temos uma raíz dupla:
(com multiplicidade 2)
Agora, resolvemos a segunda parte . Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raíz dupla para .

Passo 5

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação homogênea. Para raízes reais e múltiplas, usamos termos como multiplicados por polinômios em . Assim, as raízes (multiplicidade 2) e (multiplicidade 2) nos dão:
Simplificando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial homogênea associada é:

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