Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
f(x) = cos(x) / x^2
no ponto (pi/2, 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada vai nos dar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. Como temos uma divisão de duas funções, vamos usar a regra do quociente para derivar.

Passo 3

A regra do quociente diz que se você tem uma função , a derivada é . Aqui, e .

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas de e :
  • (derivada de )
  • (derivada de )

Passo 5

Agora, aplicando a regra do quociente:
Podemos simplificar dividindo cada termo do numerador pelo denominador:

Passo 6

Agora que temos a derivada, vamos calcular para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto dado:
Sabemos que e , então:

Passo 7

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta tangente :
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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