Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada vai nos dar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. Como temos uma divisão de duas funções, vamos usar a regra do quociente para derivar.
Passo 3
A regra do quociente diz que se você tem uma função
, a derivada é
. Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas de
e
:
-
(derivada de ) -
(derivada de )
Passo 5
Agora, aplicando a regra do quociente:
Podemos simplificar dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
Passo 6
Agora que temos a derivada, vamos calcular
para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto dado:
Sabemos que
e
, então:
Passo 7
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da reta tangente
:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente é
.